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9주차 다익스트라

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Wonjun You edited this page May 19, 2023 · 6 revisions

다익스트라 알고리즘

다익스트라(dijkstra) 알고리즘은 그래프에서 한 정점(노드)에서 다른 정점까지의 최단 경로를 구하는 알고리즘 중 하나이다. 이 과정에서 도착 정점 뿐만 아니라 모든 다른 정점까지 최단 경로로 방문하며 각 정점까지의 최단 경로를 모두 찾게 된다. 방향, 무뱡향 그래프 모두 가능하다.

다익스트라 알고리즘의 조건

  • 다익스트라 알고리즘은 음수의 가중치를 가지는 간선이 있으면 사용 불가능하다.(물론 예외는 있으나 일반적으로는 불가능하므로, 사용하지 않는다)
  • 간선의 가중치가 음수인 경우에는, 벨만-포드 알고리즘을 우선 고려해야 한다.
  • 매 단계마다 도달할 수 있는 정점 중에서 시작점으로부터 거리가 가장 가까운 정점으로 이동한다. 다시 말해, 경로 결정 방식은 Greedy한 특성을 지닌다.

다익스트라 알고리즘의 동작 과정

image

STEP 1) 출발 노드를 1로 가정할 때, 거리 배열의 나머지 값을 모두 임의의 큰 값으로 초기화한다.


image


STEP 2) 1번 노드에서 도달할 수 있는 다음 노드까지의 거리를 계산하여 표를 업데이트한다. 그 중, 최단거리인 경로를 다음 경로로 확정짓게 된다. 해당 그림에서는 4번 노드가 최단거리 1로 가장 비용이 작다.


image


해당 작업을 계속해서 반복하고, 모든 노드를 방문하는 경우 확정된다.

시간 복잡도

초기 다익스트라 알고리즘의 경우에는 시간복잡도가 O(V^2 + E) 수준에 그쳤다. 그러나 다익스트라 알고리즘은 기본적으로 Greedy한 특성을 가지므로, 우선순위 큐(파이썬의 경우 heapq)를 이용하여 시간 복잡도를 O(VlogE) 수준으로 낮추었다.

리스트로 단순 구현 : O(V^2 + E)

INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
 
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담를 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False]*(n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF]*(n+1)
 
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    #a노드에서 b노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b,c))
 
#방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value=INF
    index = 0 #가장 최단 거리가 짦은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n+1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index=i
    return index
 
def dijkstra(start):
    #시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start]=0
    visited[start]=True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]]=j[1]
    #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대한 반복
    for i in range(n-1):
        #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now]+ j[1]
            #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]]=cost
 
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
 
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i]==INF:
        print("INFINITY")
    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

heapq를 이용한 구현 : O(VlogE)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억
 
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n,m = map(int, input().split())
#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#최단 거리 테이블을 무한으로 초기화
distance = [INF]*(n+1)
 
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b,c))
 
def dijkstra(start):
    q=[]
    #시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start]=0
    #q가 비어있지 않다면
    while q:
        #가장 최단 거리인 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        #현재 노드가 이미 처리됐다면 skip
        if distance[now] < dist:
            continue
        #현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            #현재 노드를 거치면 이동 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
 
#다익스트라 알고리즘 실행
dijkstra(start)
 
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    #도달할 수 없는 경우, 무한 출력
    if distance[i]==INF:
        print("INF")
    else:
        print(distance[i])

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[1753] 최단경로 그래프 이론, 다익스트라
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출처

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