linear-algebra

1 二阶方阵的逆矩阵

A的逆矩阵： $AA^{-1} = A^{-1}A = I \Leftrightarrow A^{-1} = \frac{1}{\left|x\right|} A^{*}$

最重要的一点，我一直搞错了：矩阵A的伴随矩阵( $A^*$ )是余子矩阵的转置！！！

因此对于二阶矩阵A，

$$A = \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$$

A的余子矩阵为：

$$B = \begin{bmatrix} d&-c \\ -b&a \end{bmatrix}$$

所以，

$$ A^{*} = B^{T}= \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}$$

所以，二阶矩阵的逆矩阵：

$$ A^{-1} = \frac{1}{\left|x\right|} \begin{bmatrix} d&-b\\ -c&a \end{bmatrix}$$

参考：

-https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E4%BC%B4%E9%9A%8F%E7%9F%A9%E9%98%B5

-https://tchel.github.io/2018/09/29/The-Inverse-Matrix-of-2x2/

2 对称多项式

在n元置换下保持不变的多项式就是对称多项式。

例如: $f(x_1,x_2) = x_1^2 + x_1x_2 + x_2^4$ , 把 $x_1和x_2$ 互换位置，很显然多项式保持不变。

3 矩阵对角化和Jorand标准型

定义：一个矩阵A $\in R^{n\times n}$或者 $\in C^{n\times n}$ 能表示为：

$$ P = DAD^{-1} $$

其中D是可逆矩阵，而P是对角矩阵（只有对角线上有元素的矩阵），那就称A能够对角化。

很自然的，我们想知道矩阵对角化有啥用处，又或是什么情况下矩阵能够对角化呢？

i. 矩阵A可以对角化当且仅当：

• 矩阵A的所有特征值都不同，那么A总能对角化。
• 矩阵A的特征值有重根，需要满足：特征值对应的特征向量个数要等于特征根的重数。

ii. 具体步骤：

• $det\left|A - \lambda I\right| = 0$，求出 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$。
• $对于每个特征值，(A - \lambda_{i}I)v_{i} = 0$，求出 $v_1, v_2,...,v_n$。
• 如果满足i中的要求, $D = [v_1, v_2,...,v_n]$, $P=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。

iii. 重要结论: 矩阵幂的递推

利用 $P = DAD^{-1}$ ，我们计算 $P^2$ ：

$$P^2 = A \cdot A = (D^{-1}AD)(D^{-1}AD).$$

由于矩阵乘法的结合性和 $D^{-1}D = I$ （单位矩阵），得到：

$$P^2 = DA(D^{-1}D)AD^{-1} = DA^2D^{-1}.$$

类似地，计算 $A^3$ ：

$$A^3 = A \cdot A^2 = (DAD^{-1})(DA^2D^{-1}) = PA^3P^{-1}.$$

归纳得：

$$P^n = DA^nD^{-1}.$$

iv. 应用

• 简化矩阵的逆运算： 考虑一个人口模型，状态转移矩阵为：

$$A = \begin{bmatrix} 0.8&0.4\\ 0.6&0.7 \end{bmatrix}$$

目标：预测n年后的状态：$x_n = A^{n}x_o$ 如果矩阵A可对角化，那就简单多了， P = $DAD^{-1}$， $P^n = DA^{n}D^{-1}$， $P^{n} = diag(\lambda_{1}^{n},\lambda_{2}^{n},...,\lambda_{n}^{n})$。

3 斐波那契额数列

这个核心思想是构造一个能呈现出斐波那契数列递归规律的矩阵，然后通过2中的思想来解方程。

$$ A = \begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&1 \end{bmatrix}$$

$$ A^2 = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 1&2 \end{bmatrix}$$

$$ A^3 = \begin{bmatrix} 1&2 \\ 2&3 \end{bmatrix}$$

$$ A^4 = \begin{bmatrix} 2&3 \\ 3&5 \end{bmatrix}$$

$$ A^5 = \begin{bmatrix} 3&5 \\ 5&8 \end{bmatrix}$$

$$ \left| A - \lambda I \right| = \lambda^2-\lambda-1=0$$

$$\lambda_1 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}, \quad v_1 = \begin{pmatrix} -1 , \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \end{pmatrix}$$

$$\lambda_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 1 , \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \end{pmatrix}$$

$$ B = \begin{bmatrix} -1&1 \\ \frac{\sqrt{5}-1}{2}&\frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{bmatrix}$$

$$ P = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{5}-1}{2}&0 \\ 0&\frac{\sqrt{5}+1}{2} \end{bmatrix}$$

$$ P^n = \begin{bmatrix} (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n&0 \\ 0&(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n \end{bmatrix}$$

可以说是 $B^{-1}AB = P$, 也就是 $A = BPB^{-1}$, $B^{-1}A^{m}B = P^m$。
而 $A^m$我们已经知道了：

$$ A^m = \begin{bmatrix} f_{m-1}&f_m \\ f_m&f_{m+1} \end{bmatrix}$$

所以， $A^{m} = BP^{m}B^{-1}$, 仅观察 $BP^{m}B^{-1}$的右上角那个元素就会发现：

$$ \frac{\lambda_{1}^{m}-\lambda_{2}^{m}}{-\sqrt{5}} = f_{m} $$

$$f_m = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^m - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^m}{\sqrt{5}}$$

这正是斐波那契数列的通项公式。（精彩！）

4 CS线性代数补充课