Аналитическое моделирование упругой пластины

Этот проект содержит численно-аналитическую реализацию метода начальных функций и метода разложения в тригонометрические ряды для расчёта напряжённо-деформированного состояния прямоугольной упругой пластины. Поддерживаются задачи для однородных тел, тел с трещинами и составных конструкций с армированием (например, углепластиковой накладкой). Произведены расчеты методом коллокаций и методом разложения в ряд Фурье.

Возможности

• Решение уравнений Ламе для плоской деформации
• Построение операторов метода начальных функций
• Аппроксимация решения с помощью тригонометрических рядов
• Метод коллокаций для задания граничных условий
• Поддержка задач с трещиной в теле
• Расчёт армирования углепластиком
• Визуализация распределения перемещений и напряжений
• Высокоточная символьная и численная реализация в Maple

Используемые методы

• Метод начальных функций (Агарёв, Матросов)
• Разложение перемещений и напряжений в тригонометрические ряды
• Метод коллокаций и метод разложения в ряд Фурье
• Аналитическое преобразование операторов $L_{ij}$ в виде, удобном для вычислений
• Переход от параметров Ламе к модулю Юнга и коэффициенту Пуассона

Пример расчёта

Сценарий расчёта армированной пластины с углепластиковой накладкой:

• заданы граничные условия на гранях $x = 0$ и $x = a$
• используется $M = 27$ гармоник в разложении
• сравниваются напряжения $\sigma_y$ для разных толщин накладки
• достигается снижение пиковых напряжений до 74%

Требования

• Maple 2017+
• Поддержка работы с модулем LinearAlgebra, VectorCalculus, plots

Запуск

1. Открой один из представленных файлов в Maple
2. Последовательно выполняй ячейки:
   • Построение операторов
   • Задание граничных условий
   • Решение уравнений и визуализация
3. Настрой количество гармоник $M$ и точность (Digits) по необходимости

Ссылки

• Голоскоков Д.,П., Матросов А.,В. Метод начальных функций в расчёте изгиба защемлённой по контуру тонкой ортотропной пластинки // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2021. — Т.17, № 4. — С. 330--344.
• Рукин Ю.,Б., Жилин Р.,А., Кирпичёв И.,Ю. Механика: курсовое проектирование: учеб. пособие. — Воронеж: ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2009. — 157 с.
• Матросов А. В. Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций // Вестник СПбГУ. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. №4.
• Матросов А. В. Расчет балочных перекрытий численно-аналитическим методом // Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С. О. Макарова. 2012. №1 (13).
• Тимошенко С.,П., Гудьер Дж. Теория упругости: пер. с англ. / под ред. Г.,С. Шапиро. — 2-е изд. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979. — 560 с.
• Агарев В.,А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. — Киев: Издательство Академии Наук Украинской ССР, 1963. — 200 с.
• Matrosov A. An exact analytical solution for a free-supported micropolar rectangle by the method of initial functions // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. — 2022. — Т. 73.
• Lamé G. Leçon sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides [Lectures on the mathematical theory of elasticity of solids]. — Paris: Bachelier Publ., 1852. — 335 p.
• Алцыбеев Г.,О., Голоскоков Д.,П., Матросов А.,В. Метод суперпозиции в задаче изгиба защемлённой по контуру тонкой изотропной пластинки // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2022. — Т. 18, № 3. — С. 347--364.
• Матросов А.,В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации // Вестник СПбГУ. Сер. 10. — 2008. — Вып. 3. — С. 30.
• Матросов А. В. Замкнутая форма операторов метода начальных функций для плоской задачи теории упругости ортотропного тела // Вестник ТГГПУ. 2010. №22.
• Patel R., Dubey S.,K., Pathak K.,K. Analysis of infilled beams using method of initial functions and comparison with FEM // Engineering Science and Technology, an International Journal. — 2014. — Vol. 17. — P. 158--164.

Лицензия

MIT License. Используйте, модифицируйте и развивайте проект свободно — с упоминанием автора.

---

Автор: @dimasterpodkaster