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diff --git a/‎lectures/ar1_processes.md
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@@ -34,9 +34,9 @@ kernelspec:
 * 股息
 * 生产力等序列的动态。
 
-我们之所以研究 AR(1) 过程，部分是因为它们很有用，部分是因为它们帮助我们理解很多非常重要的概念。
+AR(1) 过程不仅有广泛的应用，还可以帮助我们理解很多非常重要的概念。
 
-让我们从一些导入开始：
+让我们从一些函数库导入开始：
 
 ```{code-cell} ipython
 import numpy as np
@@ -71,18 +71,18 @@ X_{t+1} = a X_t + b + c W_{t+1}
 * 某个家庭的劳动收入对数，或
 * 某个经济体的货币需求对数。
 
-在两种情况下，{eq}`can_ar1` 显示当前值是通过上一个值的线性函数以及一个独立同分布的冲击 $W_{t+1}$ 来演变的。
+在两种情况任意一种下，{eq}`can_ar1` 显示当前值是通过上一个值的线性函数以及一个独立同分布的冲击 $W_{t+1}$ 来演变的。
 
-(我们使用 $t+1$ 作为 $W_{t+1}$ 的下标，因为在时间 $t$ 这个随机变量还未被观察到。)
+(我们使用 $t+1$ 作为 $W_{t+1}$ 的下标，因为在时间 $t$ 时这个随机变量还未被观察到。)
 ```
 
 一旦我们指定一个初始条件 $X_0$，我们就可以用{eq}`can_ar1` 生成一个时间序列 $\{ X_t\}$。
 
-为了使事情变得更简单，我们将假设
+为了使分析变得更简单，我们将假设
 
 * 过程 $\{ W_t \}$ 是 {ref}`独立同分布 <iid-theorem>` 且符合标准正态分布，
 * 初始条件 $X_0$ 从正态分布 $N(\mu_0, v_0)$ 中抽取，
-* 初始条件 $X_0$ 与 $\{ W_t \}$ 独立。
+* 初始条件 $X_0$ 独立于 $\{ W_t \}$ 。
 
 ### 移动平均表示
 
@@ -110,20 +110,20 @@ X_t = a^t X_0 + b \sum_{j=0}^{t-1} a^j +
 * 初始条件 $X_0$ 和
 * 从时间 $t=1$ 到现在的冲击 $W_1, \ldots W_t$。
 
-在整个过程中，符号 $\psi_t$ 将用来指代这个随机变量 $X_t$ 的密度。
+在整个过程中，符号 $\psi_t$ 将用来指代这个随机变量 $X_t$ 的概率密度。
 
 ### 分布动态
 
 这个模型的一个好处是很容易追踪一系列分布 $\{ \psi_t \}$，这些分布对应于时间
-序列 $\{ X_t\}$ 的现实演变。具体来说，我们可以在每个日期 $t$ 上追踪观测到的 $X_t$ 的边际分布。
+序列 $\{ X_t\}$ 。具体来说，我们可以在每个日期 $t$ 上追踪观测到的 $X_t$ 的边缘分布。
 
 让我们看看我们如何做到这一点。
 
 首先我们指出，对于每个时间 $t$，$X_t$ 是正态分布的。
 
 这是从 {eq}`ar1_ma` 显见的，因为独立正态随机变量的线性组合是正态分布的。
 
-鉴于 $X_t$ 是正态分布的，如果我们能确定它的前两个[矩](https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics))，就可以知道完整的分布 $\psi_t$。
+鉴于 $X_t$ 是正态分布的，如果我们能确定它的[一阶矩和二阶矩](https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics))，就可以知道完整的分布 $\psi_t$。
 
 设 $\mu_t$ 和 $v_t$ 分别表示 $X_t$ 的均值和方差。
 
@@ -149,7 +149,7 @@ $$
 \psi_t = N(\mu_t, v_t)
 $$
 
-下面的代码利用这些事实来追踪边际分布序列 $\{ \psi_t \}$。
+下面的代码利用以上所得来追踪边缘分布序列 $\{ \psi_t \}$。
 
 参数是
 
@@ -185,15 +185,15 @@ plt.show()
 
 当我们使用模型来研究现实世界时，通常希望我们的模型具有清晰准确的预测。
 
-对于动态问题，清晰的预测与稳定性有关。
+对于动态问题，准确的预测与稳定性有关。
 
 例如，如果一个动态模型预测通货膨胀总是收敛到某种稳态，那么这个模型提供了一个明确的预测。
 
 （预测可能是错误的，但即便如此，它也是有帮助的，因为我们可以判断模型的质量。）
 
 注意，在上图中，序列 $\{ \psi_t \}$ 似乎正在收敛到一个极限分布，这表明存在某种稳定性。
 
-如果我们进一步向未来进行投影，这一点就更加明显：
+如果我们进一步研究未来的情况，这一点就更加明显：
 
 ```{code-cell} python3
 def plot_density_seq(ax, mu_0=-3.0, v_0=0.6, sim_length=40):
@@ -219,9 +219,10 @@ fig, ax = plt.subplots()
 plot_density_seq(ax, mu_0=4.0)
 plt.show()
 ```
+
 事实上，可以很容易地证明，只要 $|a| < 1$，不管初始条件如何，都会发生这种收敛。
 
-为了看到这一点，我们只需查看前两个矩的动态，
+为了证明这一点，我们只需查看前两个矩的动态，
 如 {eq}`dyn_tm` 中所给出的。
 
 当 $|a| < 1$ 时，这些序列会收敛到各自的极限
@@ -234,7 +235,7 @@ plt.show()
 v^* = \frac{c^2}{1 - a^2}
 ```
 
-（请参阅我们的 {doc}`一维动力学讲座 <scalar_dynam>`，了解确定性收敛的背景。）
+（可以通过阅读我们的 {doc}`一维动力学讲座 <scalar_dynam>`来了解确定性收敛的背景。）
 
 因此
 
@@ -260,40 +261,41 @@ ax.legend()
 
 plt.show()
 ```
+
 请注意，根据上述参数，我们看到序列 $\{ \psi_t \}$ 收敛到 $\psi^*$。
 
 我们看到，至少对于这些参数，AR(1) 模型具有很强的稳定性特性。
 
 ### 平稳分布
 
-让我们更好地理解极限分布 $\psi^*$。
+让我们试着更深入地理解极限分布 $\psi^*$。
 
-平稳分布是 AR(1) 过程更新规则的一个“固定点”。
+平稳分布是 AR(1) 过程更新规则的一个“不动点”。
 
-换句话说，如果 $\psi_t$ 是平稳的，那么对所有 $j$，$\psi_{t+j} = \psi_t$ 在 $\mathbb N$ 中成立。
+换句话说，如果 $\psi_t$ 是平稳的，那么对所有 $j$，$\psi_{t+j} = \psi_t$ 在 $\mathbb N$ 时成立。
 
-另一种针对当前设置的说法是：如果一个在 $\mathbb R$ 上的密度 $\psi$ 对 AR(1) 过程是**平稳的**，则有
+另一种针对当前情况的说法是：如果一个在 $\mathbb R$ 上的概率密度 $\psi$ 对 AR(1) 过程是**平稳的**，则有
 
 $$
 X_t \sim \psi
 \quad \implies \quad
 a X_t + b + c W_{t+1} \sim \psi
 $$
 
-$\psi^*$ 在 {eq}`ar1_psi_star` 中具有这一性质——检查这一点是一个练习。
+$\psi^*$ 在 {eq}`ar1_psi_star` 中具有这一性质——验证这一点是留给读者的练习。
 
 （当然，我们假设 $|a| < 1$ 从而 $\psi^*$ 是
 良定义的。）
 
 事实上，可以证明 $\mathbb R$ 上没有其他分布具有这一性质。
 
-因此，当 $|a| < 1$ 时，AR(1) 模型恰好有一个平稳密度，那就是 $\psi^*$。
+因此，当 $|a| < 1$ 时，AR(1) 模型恰好有一个平稳概率密度，那就是 $\psi^*$。
 
 ## 遍历性
 
 不同的作者使用遍历性这一概念有不同的方式。
 
-在当前设定中理解它的一种方式是，即使 $\{X_t\}$ 不是独立同分布的，大数定律也是有效的。
+在当前情况中可以理解为：即使 $\{X_t\}$ 不是独立同分布的，大数定律也是有效的。
 
 特别是，时间序列的平均值收敛于平稳分布下的期望值。
 
@@ -336,7 +338,7 @@ $$
 
 我们可以使用理论的 AR(1) 模型来计算右侧。
 
-如果 $\frac{1}{m} \sum_{t = 1}^m X_t$ 即使在很多观测下也不接近 $\psi^*(x)$，那么我们的理论似乎是错误的，我们将需要修订它。
+如果 $\frac{1}{m} \sum_{t = 1}^m X_t$ 即使在大量观测下也不接近 $\psi^*(x)$，那么我们的理论便有可能是错误的，我们将需要修订它。
 
 
 ## 练习
@@ -374,7 +376,7 @@ $$
 
 当 $m$ 是较大时。
 
-通过仿真验证一系列 $k$，使用讲座中的默认参数。
+通过模拟验证一系列 $k$，使用本讲中的默认参数。
 ```
 
 
@@ -426,7 +428,7 @@ plt.show()
 ```{exercise}
 :label: ar1p_ex2
 
-编写一个一维[核密度估计](https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation)的版本，用于从样本中估计密度。
+编写一个你自己的一维[核密度估计](https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%B8%E5%AF%86%E5%BA%A6%E4%BC%B0%E8%AE%A1/10349033)，用于从样本中估计概率密度。
 
 将其写为一个类，该类在初始化时接受数据 $X$ 和带宽 $h$，并提供一个方法 $f$，使得
 
@@ -440,25 +442,25 @@ $$
 编写该类，使得带宽默认遵循 Silverman 的规则（参见[此页面](https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation)中的“经验规则”讨论）。通过以下步骤测试你编写的类：
 
 1. 从分布 $\phi$ 中模拟数据 $X_1, \ldots, X_n$
-1. 在适当的范围内绘制核密度估计
-1. 在同一图形上绘制 $\phi$ 的密度
+2. 在适当的范围内绘制核密度估计
+3. 在同一图形上绘制 $\phi$ 的密度
 
-分布 $\phi$ 类型如下：
+给定如下分布 $\phi$ 类型：
 
-- [beta 分布](https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution)，$\alpha = \beta = 2$
-- [beta 分布](https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution)，$\alpha = 2$ 且 $\beta = 5$
-- [beta 分布](https://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution)，$\alpha = \beta = 0.5$
+- [贝塔分布](https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E5%A1%94%E5%88%86%E5%B8%83/8994021?fromModule=search-result_lemma)，$\alpha = \beta = 2$
+- [贝塔分布](https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E5%A1%94%E5%88%86%E5%B8%83/8994021?fromModule=search-result_lemma)，$\alpha = 2$ 且 $\beta = 5$
+- [贝塔分布](https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9D%E5%A1%94%E5%88%86%E5%B8%83/8994021?fromModule=search-result_lemma)，$\alpha = \beta = 0.5$
 
 使用 $n=500$。
 
-对结果进行评论。（你认为这是这些分布的良好估计吗？）
+对结果进行总结。（你认为这是这些分布的良好估计吗？）
 ```
 
 ```{solution-start} ar1p_ex2
 :class: dropdown
 ```
 
-这是一个解决方案：
+这是一个解答：
 
 ```{code-cell} ipython3
 K = norm.pdf
@@ -506,7 +508,7 @@ for α, β in parameter_pairs:
     plot_kde(beta(α, β))
 ```
 
-我们可以看到，当基础分布是平滑时，核密度估计器是有效的，但在其他情况下则效果不佳。
+我们可以看到，当基础分布是平滑时，核密度估计是有效的，但在其他情况下则效果不佳。
 
 ```{solution-end}
 ```
@@ -515,7 +517,7 @@ for α, β in parameter_pairs:
 ```{exercise}
 :label: ar1p_ex3
 
-在讲座中我们讨论了以下事实：对于 $AR(1)$ 过程
+在本讲中我们讨论了以下事实：对于 $AR(1)$ 过程
 
 $$
 X_{t+1} = a X_t + b + c W_{t+1}
@@ -541,17 +543,17 @@ $$
 其次，在同一个图形上（用不同的颜色），绘制 $\psi_{t+1}$ 如下：
 
 1. 从分布 $N(\mu, s^2)$ 中生成 $n$ 次 $X_t$ 抽样
-1. 使用规则 $X_{t+1} = a X_t + b + c W_{t+1}$ 更新它们所有
-1. 使用 $X_{t+1}$ 的结果样本产生通过核密度估计的密度估计。
+2. 使用方程 $X_{t+1} = a X_t + b + c W_{t+1}$ 更新全部的数据
+3. 使用 $X_{t+1}$ 的结果样本通过核密度估计产生的估计密度。
 
-尝试 $n=2000$ 并确认基于抽样实验的 $\psi_{t+1}$ 估计会收敛到理论分布。
+尝试用 $n=2000$ 并确认基于抽样实验的 $\psi_{t+1}$ 估计会收敛到理论分布。
 ```
 
 ```{solution-start} ar1p_ex3
 :class: dropdown
 ```
 
-这是我们的解决方案
+这是我们的解答
 
 ```{code-cell} ipython3
 a = 0.9