Semestrální práce - Stochastické systémy a procesy

Tento projekt obsahuje dvě semestrální práce z předmětu Stochastické systémy a procesy vypracované na Západočeské univerzitě v Plzni, Katedře kybernetiky. Práce se zaměřují na analýzu Markovských řetězců, stochastických procesů, jejich vlastností a stacionarity.

---

Obsah

1. První semestrální práce: Markovské řetězce
2. Druhá semestrální práce: Stochastické procesy a stacionarita
3. Použité nástroje

---

První semestrální práce: Markovské řetězce

Popis

Práce se zabývá analýzou homogenních Markovských řetězců, jejich vlastnostmi a výpočty spojenými s pravděpodobnostmi přechodů mezi stavy.

Hlavní úkoly

1. Homogenní a regulární Markovský řetězec:
   • Výpočet středního počtu kroků potřebných k dosažení určitého stavu.
   • Výpočet finálních pravděpodobností.
2. Homogenní a absorpční Markovský řetězec:
   • Výpočet průměrného počtu průchodů stavem před absorpcí.
   • Výpočet doby pobytu v tranzientním stavu.
   • Pravděpodobnost dosažení konkrétního absorpčního stavu.

Implementace

• Matice přechodových pravděpodobností byla analyzována jak symbolicky, tak numericky pomocí iterativních metod.
• Výpočty byly provedeny v prostředí MATLAB.

---

Druhá semestrální práce: Stochastické procesy a stacionarita

Popis

Práce se zaměřuje na analýzu stochastických procesů, jejich vlastností (např. autokovariance) a zkoumání jejich stacionarity.

Hlavní úkoly

1. Gauss-Markovův diskrétní proces:
   • Generování realizací procesu.
   • Výpočet teoretické i odhadnuté autokovarianční funkce.
   • Posouzení stacionarity procesu.
2. Wienerův proces:
   • Generování realizací procesu.
   • Analýza nestacionarity procesu na základě autokovariance.
3. Gauss-Markovův model systému:
   • Generování realizací modelu pro proces $X_k$ a jeho pozorování $Z_k$.
   • Výpočet teoretických i odhadnutých hodnot střední hodnoty a variance.
   • Zkoumání ustálených hodnot pro $k \to \infty$.

Implementace

• Simulace byly provedeny v prostředí MATLAB.
• Výsledky byly vizualizovány pomocí grafů pro porovnání teoretických a empirických hodnot.

---

Použité nástroje

• MATLAB: Pro výpočty, simulace a vizualizaci výsledků.
• Teoretické metody: Analytické výpočty autokovariance, pravděpodobností přechodů a dalších charakteristik.

Pro více informací o jednotlivých úlohách viz přiložené PDF dokumenty STP_SP1.pdf a STP_SP2.pdf.