Задача поиска путей. В процессе.

Author: gsvgit

tex/GraphTheoryIntro.tex

@@ -69,7 +69,7 @@ \section{Основные определения}
 Один из способов задать граф --- это задать его \textit{матрицу смежности}.
 
 \begin{definition}
-  \textit{Матрица смежности} графа $\mathcal{G}=\langle V,E,L \rangle$ --- это квадратная матрица $M$ размера $n \times n$, где $|V| = n$, построенная над алгебраической структурой $\mathbb{G} = (S,\circ\colon S \times S \to S)$, которая конструируется следующим образом.
+  \textit{Матрица смежности} графа $\mathcal{G}=\langle V,E,L \rangle$ --- это квадратная матрица $M$ размера $n \times n$, где $|V| = n$, построенная над коммутативным моноидом $\mathbb{G} = (S,\circ\colon S \times S \to S)$, который конструируется следующим образом.
 
   \begin{enumerate}
     \item $L \subseteq S$.
@@ -80,7 +80,7 @@ \section{Основные определения}
   При этом $M[i,j] = \bigcirc_{(i,l,j) \in E}l$, где $\bigcirc_\varnothing = \mathbb{0}$.
 \end{definition}
 
-Заметим, что наше определение матрицы смежности отличается от классического, в котором матрица является булевой и отражает лишь факт наличия хотя бы одного ребра и. То есть $M[i,j] = 1 \iff \exists e = (i,\_,j) \in E$.
+Заметим, что наше определение матрицы смежности отличается от классического, в котором матрица является булевой и отражает лишь факт наличия хотя бы одного ребра. То есть $M[i,j] = 1 \iff \exists e = (i,\_,j) \in E$.
 
 \begin{example}[Пример матрицы смежности неориентированного графа]\label{exmpl:undirectedGraphMatrix}
   Пусть дан следующий неориентированный граф.
@@ -159,7 +159,7 @@ \section{Основные определения}
     \input{figures/graph/graph4.tex}
   \end{center}
 
-  Будем считать, что веса берутся из $\mathbb{R}$, а решаемая задача --- поиск кратчайших путей между вершинами. В таком случае естественно предположить, что для любой вершины $v_i$ существует петля $v_i,0,v_i$, хоть она явно и не изображена. Далее, $\mathbb{G} = ( \mathbb{R}\cup \{\infty\} , \min)$, где $\infty$ --- нейтральный элемент относительно операции $\min$. 
+  Будем считать, что веса берутся из $\mathbb{R}$, а решаемая задача --- поиск кратчайших путей между вершинами. В таком случае естественно предположить, что для любой вершины $v_i$ существует петля $(v_i,0,v_i)$, хоть она явно и не изображена. Далее, $\mathbb{G} = ( \mathbb{R}\cup \{\infty\} , \min)$, где $\infty$ --- нейтральный элемент относительно операции $\min$. 
 
   В результате мы получим следующую матрицу смежности:
   $$
@@ -172,8 +172,47 @@ \section{Основные определения}
   $$
 \end{example}
 
-Мы ввели лишь общие понятия.
-Специальные понятия, необходимые для изложения конкретного материала, будут даны в соответствующих главах.
+Таким образом, уже можно заметить, что введение моноида как абстракции позволяет достаточно унифицированным образом смотреть на различные графы и их матрицы смежности. Далее мы увидим, что данный путь позволит решать унифицированным образом достаточно широкий круг задач, связанных с анализом путей в графах. Но сперва мы сформулируем различные варианты задачи поиска путей в графе. Это необходимо для формулировки задач, на решение которых мы в конечном итоге нацелены. 
+
+\section{Задачи поиска путей}
+
+Одна из классических задач анализа графов --- это задача поиска путей между вершинами с различными ограничениями.
+
+При этом, возможны различные постановки задачи.
+С одной стороны, постановки различаются тем, что именно мы хотим получить в качестве результата. Здесь наиболее частыми являются следующие варианты.
+
+\begin{itemize}
+\item Наличие хотя бы одного пути, удовлетворяющего ограничениям, в графе. В данном случае не важно, между какими вершинами существует путь, важно лишь наличие его в графе.
+
+\item Наличие пути, удовлетворяющего ограничениям, между некоторыми вершинами: задача достижимости.
+      При данной постановке задачи, нас интересует ответ на вопрос достижимости вершины $v_i$ из вершины $v_j$ по пути, удовлетворяющему ограничениям.
+      Такая постановка требует лишь проверить существование пути, но не его предоставления в явном виде.
+
+\item Поиск одного пути, удовлетворяющего ограничениям: необходимо не только установить факт наличия пути, но и  предъявить его. При этом часто подразумевается, что возвращается любой путь, являющийся решением, без каких-либо дополнительных ограничений. Хотя, например, в некоторых задачах дополнительное требование простоты или наименьшей длинны выглядит достаточно естественным.
+
+\item Поиск всех путей: необходимо предоставить все пути, удовлетворяющие заданным ограничениям.
+\end{itemize}
+
+С другой стороны, задачи могут различаться ещё и тем, как фиксируются множества стартовых и конечных вершин.
+Здесь возможны следующие варианты:
+\begin{itemize}
+\item от одной вершины до всех,
+\item между всеми парами вершин,
+\item межу фиксированной парой вершин,
+\item между двумя множествами вершин $V_1$ и $V_2$, что подразумевает решение задачи для всех $(v_i,v_j) \in V_1 \times V_2$.
+\end{itemize}
+
+Стоит отметить, что последний вариант является самым общим и остальные --- лишь его частные случаи. 
+Однако этот вариант часто выделяют отдельно, подразумевая, что остальные, выделенные, варианты в него не включаются.
+
+В итоге, перебирая возможные варианты желаемого результата и способы фиксации стартовых и финальных вершин, мы можем сформулировать достаточно большое количество задач. Например, задачу поиска всех путей между двумя заданными вершинами, задачу поиска одного пути от фиксированной стартовой вершины до каждой вершины в графе, или задачу достижимости между всеми парами вершин.
+
+Часто при поиске путей на них накладывают дополнительные ограничения. Например, можно потребовать, чтобы пути были простыми или не проходили через определённые вершины. Один из естественных способов задавать ограничения --- это формулировать их в терминах той алгебраической структуры, из которой берутся веса рёбер графа. 
+
+Предположим, что дан граф $\mathcal{G} = \langle V, E, L\rangle $, где $L = \langle S, \oplus, \otimes \rangle$ --- это полукольцо. Тогда можно поставить следующую задачу: выяснить, каково наилучшее значение некоторого свойства $$ \{(v_i, v_j, c) \mid \exists v_i \pi v_j, c = \bigoplus_{\forall v_i \pi v_j} \bigotimes_{(u,l,v) \in \pi } l \} $$
+
+Ограничение, имеющее важное прикладное значение, --- минимальность длины искомого пути.
+Одна из важных задач, имеющих как прикладное, так и теоретическое значение --- \textit{поиск кратчайших путей в графе между всеми парами вершин(англ. APSP --- all-pairs shortest paths)}. Рассмотрим её более подробно. Тем более, что данная задача в определённом смысле близка к задаче, которая будет основной в данной работе, и из алгоритмов для APSP можно почерпнуть идеи для алгоритмов решения задачи поиска путей с ограничениями в терминах формальных языков.
 
 \section{Графы и линейная алгебра}
 
@@ -224,36 +263,7 @@ \section{Графы и линейная алгебра}
 
 Про Кронекера и произведение графов.
 
-\section{Задачи поиска путей}
-
-Одна из классических задач анализа графов --- это задача поиска путей между вершинами с различными ограничениями.
-
-При этом, возможны различные постановки задачи.
-С одной стороны, по тому, что именно мы хотим получить в качестве результата:
-\begin{itemize}
-\item Наличие хотя бы одного пути, удовлетворяющего ограничениям, в графе. В данном случае не важно, между какими вершинами существует путь, важно лишь наличие его в графе.
-\item Наличие пути, удовлетворяющего ограничениям, между некоторыми вершинами: задача достижимости.
-      При данной постановке задачи, нас интересует ответ на вопрос достижимости вершина $v_1$ из вершины $v_2$ по пути, удовлетворяющему ограничениям.
-      Такая постановка требует лишь проверить существование пути, но не обязательно его предоставлять в явном виде.
-\item Поиск одного пути, удовлетворяющего ограничениям: необходимо не только установить факт наличия пути, но и  предъявить его. При этом часто подразумевается, что возвращается любой путь, являющийся решением, без каких-либо дополнительных ограничений. Хотя, например, в некоторых задачах дополнительное требование простоты или наименьшей длинны выглядит достаточно естественным.
-\item Поиск всех путей: необходимо предоставить все пути, удовлетворяющие заданным ограничениям.
-\end{itemize}
-
-С другой стороны, задачи различаются ещё и по тому, как фиксируются множества стартовых и конечных вершин.
-Здесь возможны следующие варианты:
-\begin{itemize}
-\item от одной вершины до всех,
-\item между всеми парами вершин,
-\item межу фиксированной парой вершин,
-\item между двумя множествами вершин.
-\end{itemize}
-
-Стоит отметить, что последний вариант является самым общим и остальные --- лишь его частные случаи. 
-Однако этот вариант часто выделяют отдельно, подразумевая, что остальные, выделенные, варианты в него не включаются. В итоге мы можем сформулировать прямое произведение различных постановок задач о поиске путей, перебирая возможные варианты желаемого результата и фиксируя стартовые и финальные множества разными способами.
 
-Часто при поиске путей на них накладывают дополнительные ограничения. Например, можно потребовать, чтобы пути были простыми или не проходили через определённые вершины.
-Ограничение, имеющее важное прикладное значение, --- минимальность длины искомого пути.
-Одна из важных задач, имеющих как прикладное, так и теоретическое значение --- \textit{поиск кратчайших путей в графе между всеми парами вершин(англ. APSP --- all-pairs shortest paths)}. Рассмотрим её более подробно. Тем более, что данная задача в определённом смысле близка к задаче, которая будет основной в данной работе, и из алгоритмов для APSP можно почерпнуть идеи для алгоритмов решения задачи поиска путей с ограничениями в терминах формальных языков.
 
 
 \section{APSP и транзитивное замыкание графа}

tex/LinearAlgebra.tex

@@ -639,7 +639,7 @@ \section{Теоретическая сложность умножения мат
 \end{algorithmic}
 \end{algorithm}
 
-Сложность наивного произведения двух матриц составляет $O(n^3)$, что очевидным образом следует из псевдокода. Но можно ли улучшить этот алгоритм? Первый положительный ответ был опубликовал Ф. Штрассен в 1969 году~\cite{Strassen1969}. Сложность предложенного им алгоритма --- $O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.81})$. Основная идея --- рекурсивное разбиение исходных матриц на блоки $2 \times 2$ и вычисление их произведения с помощью только 7 умножений, а не 8.
+Сложность наивного произведения двух матриц составляет $O(n^3)$, что очевидным образом следует из псевдокода. Но можно ли улучшить этот алгоритм? Первый положительный ответ был опубликовал Ф. Штрассен в 1969 году~\cite{Strassen1969}. Сложность предложенного им алгоритма --- $O(n^{\log_2 7}) \approx O(n^{2.81})$. Основная идея --- рекурсивное разбиение исходных матриц на блоки и вычисление их произведения с помощью только 7 умножений, а не 8.
 
 Рассмотрим алгоритм Штрассена более подробно. Пусть $A$ и $B$ --- две квадратные матрицы размера $2^n \times 2^n$\footnote{Если размер умножаемых матриц не является натуральной степенью двойки, мы дополняем исходные матрицы дополнительными нулевыми строками и столбцами.} над кольцом $R=(S,\oplus,\otimes)$. Наша задача найти матрицу $C = A \cdot B$.