Чуть более аккуратное определение матрицы смежности. Унификация примеров под это определение.

Author: gsvgit

tex/GraphTheoryIntro.tex

@@ -6,9 +6,15 @@ \chapter{Некоторые сведения из теории графов}\lab
 \section{Основные определения}
 
 \begin{definition}
-  \textit{Граф} $\mathcal{G} = \langle V, E, L \rangle$, где $V$ --- конечное множество вершин, $E$ --- конечное множество рёбер, т.ч. $E \subseteq V \times L \times V$, $L$ --- конечное множество меток на рёбрах.
+  \textit{Помеченный ориентированный граф} $\mathcal{G} = \langle V, E, L \rangle$, где $V$ --- конечное множество вершин, $E$ --- конечное множество рёбер, т.ч. $E \subseteq V \times L \times V$, $L$ --- конечное множество меток на рёбрах. В некоторых случаях метки называют \textit{весами}\footnote{Весами метки называют ,как правило, тогда, когда они берутся из какого-либо поля, например $\mathbb{R}$ или $\mathbb{N}$.} и тогда говорят о \textit{взвешенном} графе.
 \end{definition}
 
+
+\begin{definition}
+  В случае, если для любого ребра $(u,l,v)$ в графе также содержится ребро $(v,l,u)$, говорят, что граф \textit{неориентированный}.
+\end{definition}
+
+
 В дальнейшем речь будет идти о конечных ориентированных помеченных графах.
 Мы будем использовать термин \textit{граф} подразумевая именно конечный ориентированный помеченный граф, если только не оговорено противное.
 
@@ -29,10 +35,6 @@ \section{Основные определения}
   \end{center}
 \end{example}
 
-\begin{definition}
-  \textit{Ребро} ориентированного помеченного графа $\mathcal{G} = \langle V, E, L \rangle$ это упорядоченная тройка $e = (v_i,l,v_j) \in V \times L \times V$.
-\end{definition}
-
 \begin{example}[Пример рёбер графа]
 $(0,a,1)$  и $(3,b,2)$ --- это рёбра графа $\mathcal{G}_1$. При этом, $(3,b,2)$ $(2,b,3)$ --- это разные рёбра.
 \end{example}
@@ -62,66 +64,83 @@ \section{Основные определения}
   $(v_i,v_j) \in P \iff \exists v_i \pi v_j$.
 \end{definition}
 
-Отметим, что рефлексивность этого отношения часто зависит от контекста.
-В некоторых задачах по-умолчанию $(v_i,v_i) \notin P$, а чтобы это было верно, требуется явное наличие ребра-петли.
+Отметим, что в некоторых задачах удобно считать по-умолчанию, что $(v_i,v_i) \in P$, однако наше определение такого не допускает. Исправить ситуацию можно явно добавив петли $(v_i,l,v_i)$ для всех вершин.
 
 Один из способов задать граф --- это задать его \textit{матрицу смежности}.
 
 \begin{definition}
-  \textit{Матрица смежности} графа $\mathcal{G}=\langle V,E,L \rangle$ --- это квадратная матрица $M$ размера $n \times n$, где $|V| = n$ и ячейки которой содержат множества.
-  При этом $l \in M[i,j] \iff \exists e = (i,l,j) \in E$.
-\end{definition}
+  \textit{Матрица смежности} графа $\mathcal{G}=\langle V,E,L \rangle$ --- это квадратная матрица $M$ размера $n \times n$, где $|V| = n$, построенная над алгебраической структурой $\mathbb{G} = (S,\circ\colon S \times S \to S)$, которая конструируется следующим образом.
 
-Заметим, что наше определение матрицы смежности отличается от классического, в котором матрица отражает лишь факт наличия хотя бы одного ребра и, соответственно, является булевой. То есть $M[i,j] = 1 \iff \exists e = (i,\_,j) \in E$.
+  \begin{enumerate}
+    \item $L \subseteq S$.
+    \item $\circ$ --- коммутативная бинарная операция.
+    \item Существует $ \mathbb{0} \in (S \setminus L)$ --- нейтральный элемент относительно $\circ$.    
+  \end{enumerate}
 
+  При этом $M[i,j] = \bigcirc_{(i,l,j) \in E}l$, где $\bigcirc_\varnothing = \mathbb{0}$.
+\end{definition}
 
-Также можно встретить матрицы смежности, в ячейках которых всё же хранится некоторая информация, однако, в единственном экземпляре. То есть запрещены параллельные рёбра.
-Такой подход часто можно встретить в задачах о кратчайших путях: в этом случае в ячейке хранится расстояние между двумя вершинами.
-При этом, так как в качестве весов часто рассматривают произвольные (в том числе отрицательные) числа, то в задачах о кратчайших путях отдельно вводят значение ``бесконечность'' для обозначения ситуации, когда между двумя вершинами нет пути или его длина ещё не известна.
-Всё это приводит к тому, что \textit{матрица смежности} --- это обобщённое понятие, нежели конкретный специальный тип матриц.
-Данная конструкция даёт общее представление о том, как в матричном виде хранить различную информацию о смежности вершин в графе.
+Заметим, что наше определение матрицы смежности отличается от классического, в котором матрица является булевой и отражает лишь факт наличия хотя бы одного ребра и. То есть $M[i,j] = 1 \iff \exists e = (i,\_,j) \in E$.
 
-\begin{example}[Пример матрицы смежности неориентированного графа]
-  Неориентированный граф:
+\begin{example}[Пример матрицы смежности неориентированного графа]\label{exmpl:undirectedGraphMatrix}
+  Пусть дан следующий неориентированный граф.
   \begin{center}
     \input{figures/graph/graph1.tex}
   \end{center}
 
-  И его матрица смежности:
+$\mathbb{G} = (S,\circ)$ в этом случае конструируется следующим образом. Во-первых, придётся предположить, что $L$ --- множество с одним элементом, скажем $s$, и считать, что все рёбра помечены им\footnote{А раз все рёбра имеют одинаковый заранее известный вес, то можно его и не писать для каждого ребра при задании графа. Поэтому привычное нам изображение получается достаточно логичным.}. Далее, $S = L \cup{\{n\}} = \{s,n\}$, где $n$ --- нейтральный элемент относительно $\circ$. Тогда $\circ$ можно определить поточечно следующим образом.
+\begin{itemize}
+  \item $s \circ s = s$
+  \item $s \circ n = n \circ s = s$
+  \item $n \circ n = n$
+\end{itemize} 
+
+Таким образом, матрица смежности данного графа выглядит следующим образом:
+$$
+\begin{pmatrix}
+  n & s & s & n \\
+  s & n & s & n \\
+  s & s & n & s \\
+  n & n & s & n
+\end{pmatrix}
+$$
+, что может показаться несколько непривычным. Однако заметим, что построенная нами структура $\mathbb{G} = (\{s,n\}, \circ)$ изоморфна $\mathbb{G}' = (\{1,0\}, \vee)$. При переходе к $\mathbb{G}'$ мы получим привычную нам булеву матрицу смежности: 
   $$
   \begin{pmatrix}
-    1 & 1 & 1 & 0 \\
-    1 & 1 & 1 & 0 \\
-    1 & 1 & 1 & 1 \\
-    0 & 0 & 1 & 1
+    0 & 1 & 1 & 0 \\
+    1 & 0 & 1 & 0 \\
+    1 & 1 & 0 & 1 \\
+    0 & 0 & 1 & 0
   \end{pmatrix}
   $$
+  Заметим, что матрица смежности неориентированного графа всегда симметрична относительно главной диагонали.
 \end{example}
 
 \begin{example}[Пример матрицы смежности ориентированного графа]\label{example:diGraph}
-  Ориентированный граф:
+  Дан ориентированный граф:
   \begin{center}
   \input{figures/graph/graph2.tex}
   \end{center}
 
-  И его матрица смежности:
+  Построить его булеву матрицу смежности можно применив рассуждения из предыдущего примера (\ref{exmpl:undirectedGraphMatrix}) и выглядеть она будет следующим образом:
   $$
   \begin{pmatrix}
-    1 & 1 & 0 & 0 \\
-    0 & 1 & 1 & 0 \\
-    1 & 0 & 1 & 1 \\
-    0 & 0 & 1 & 1
+    0 & 1 & 0 & 0 \\
+    0 & 0 & 1 & 0 \\
+    1 & 0 & 0 & 1 \\
+    0 & 0 & 1 & 0
   \end{pmatrix}
   $$
 \end{example}
 
 \begin{example}[Пример матрицы смежности помеченного графа]
-  Помеченный граф:
+  Пусть дан следующий помеченный граф.
   \begin{center}
     \input{figures/graph/graph3.tex}
   \end{center}
 
-  И его матрица смежности:
+  В данном случае $L = \{\{a\},\{b\}\}$, а $\mathbb{G} = ( \{\{a\},\{b\},\{a,b\},\varnothing\} ,\cup)$, где $\varnothing$ --- нейтральный элемент.
+  Тогда матрица матрица смежности исходного графа выглядит следующим образом:
   $$
   \begin{pmatrix}
     \varnothing   & \{a\}       & \varnothing & \varnothing \\
@@ -132,13 +151,17 @@ \section{Основные определения}
   $$
 \end{example}
 
+Необходимо заметить, что свойства $\mathbb{G}$, а значит и детали её построения, зависят от задачи, в рамках которой рассматривается граф. В примерах выше мф строили $\mathbb{G}$ из некоторых общих соображений, не специфицируя решаемую задачу, стараясь получить ожидаемый результат. Далее мы рассмотрим пример, в котором видно, как решаемая задача влияет на построение $\mathbb{G}$.
+
 \begin{example}[Пример матрицы смежности взвешенного графа]\label{example:apspGraph}
-  Взвешенный граф для задачи о кратчайших путях:
+  Пусть дан следующий взвешенный граф:
   \begin{center}
     \input{figures/graph/graph4.tex}
   \end{center}
 
-  И его матрица смежности (для задачи о кратчайших путях):
+  Будем считать, что веса берутся из $\mathbb{R}$, а решаемая задача --- поиск кратчайших путей между вершинами. В таком случае естественно предположить, что для любой вершины $v_i$ существует петля $v_i,0,v_i$, хоть она явно и не изображена. Далее, $\mathbb{G} = ( \mathbb{R}\cup \{\infty\} , \min)$, где $\infty$ --- нейтральный элемент относительно операции $\min$. 
+
+  В результате мы получим следующую матрицу смежности:
   $$
   \begin{pmatrix}
     0 & -1.4 & \infty & \infty \\
@@ -365,7 +388,7 @@ \section{APSP и произведение матриц}
 
 %\section{Вопросы и задачи}
 %\begin{enumerate}
-%  \item Реализуйте абстракцию полукльца, позволяющую конструировать полукольца с произвольными операциями.
+%  \item Реализуйте абстракцию полукольца, позволяющую конструировать полукольца с произвольными операциями.
 %  \item Реализуйте алгоритм произведения матриц над произвольным полукольцом. Используйте результат решения предыдущей задачи.
 %  \item Используя результаты предыдущих задач, реализуйте алгоритм построения транзитивного замыкания через произведение матриц.
 %  \item Используя результаты предыдущих задач, реализуйте алгоритм решения задачи APSP для ориентированного через произведение матриц.

tex/figures/graph/graph3.tex

@@ -11,10 +11,10 @@
   \node[state] (q_2) at (T60.apex)         {$2$};
   \node[state] (q_3) [right=1.5cm of q_2]  {$3$};
   \path[->]
-    (q_0) edge[left]  node {a} (q_1)
-    (q_1) edge[above]  node {a} (q_2)
-    (q_2) edge[below]  node {a} (q_0)
-    (q_2) edge[bend left = 20, above]  node {a} (q_3)
-    (q_2) edge[bend left = 60, above]  node {b} (q_3)
-    (q_3) edge[bend left, below]  node {b} (q_2);
+    (q_0) edge[left]  node {$\{a\}$} (q_1)
+    (q_1) edge[above]  node {$\{a\}$} (q_2)
+    (q_2) edge[below]  node {$\{a\}$} (q_0)
+    (q_2) edge[bend left = 15, above]  node {$\{a\}$} (q_3)
+    (q_2) edge[bend left = 65, above]  node {$\{b\}$} (q_3)
+    (q_3) edge[bend left, below]  node {$\{b\}$} (q_2);
 \end{tikzpicture}