Поправлены опечатки.

Author: gsvgit

tex/GraphTheoryIntro.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \chapter{Некоторые сведения из теории графов}\label{chpt:GraphTheoryIntro}
 
-В данном разделе мы дадим определения базовым понятиям из теории графов, рассмотрим несколько классических задач из области анализа графов и алгоритмы их решения. Кроме этого, поговорим о связи между линейной алгеброй и некоторыми задачами анализа графов.
+В данном разделе мы дадим определения базовым понятиям из теории графов, рассмотрим несколько классических задач из области анализа графов и алгоритмы их решения.
+Кроме этого, поговорим о связи между линейной алгеброй и некоторыми задачами анализа графов.
 Всё это понадобится нам при последующей работе.
 
 \section{Основные определения}
@@ -331,11 +332,13 @@ \section{Алгоритм Флойда-Уоршелла}
 
 Идеи, заложенные в алгоритме Флойда-Уоршелла, а также возможность абстрагировать его, помогут нам в дальнейшем предложить алгоритм для задачи достижимости с ограничениями в терминах формальных языков.
 
+
 \section{Анализ путей в графе и линейная алгебра}
 
 В данной главе мы рассмотрим некоторые связи\footnote{Связь между графами и линейной алгеброй --- обширная область, в которой можно даже выделить отдельные направления, такие как спектральная теория графов. С точки зрения практики данная связь также подмечена давно и более полно с ней можно ознакомиться, например, в работах~\cite{doi:10.1137/1.9780898719918, Davis2018Algorithm9S}. Кроме этого, много полезной информации можно найти на сайте \url{https://graphblas.github.io/GraphBLAS-Pointers/}.} между графами и операциями над ними и матрицами и операциями над матрицами.
 
-Как мы видели, достаточно естественное представление графа --- это его матрица смежности. Далее можно заметить некоторое сходство между определением матричного умножения~\ref{def:MxM} и мыслями, которыми мы руководствовались, вводя операцию $\otimes$ (\ref{itm:otimesIntro}). Действительно, пусть есть матрица $M$ размера $n \times n$ над $mathbb{G} = (S,\oplus,\otimes)$\footnote{Здесь мы уже сталкиваемся с тем, что могут иметь смысл относительно экзотические алгебраические структуры. Действительно, как мы выяснили, матрица смежности может быть определена на чем-то более бедным, чем полукольцо, а матичное умножение мы определяли над полукольцом. Но если задуматься, то и для определения произведения матриц полукольцо вовсе необязательно, достаточно более бедной структуры.} --- матрица смежности графа. Умножим её саму на себя: вычислим $M'= M \cdot M$. Тогда, по~\ref{def:MxM}, $M'[i,j] = \bigoplus_{0 \leq l < n} M[i,l] \otimes M[l,j]$. Размер $M'$ также $n \times n$. То есть $M'$ задаёт такой граф, что в нём будет путь со свойством, являющимся агрегацией свойств всех путей, составленных из двух подпутей в исходном графе. А именно, если в исходном графе есть путь из $i$ в $l$ с некоторым свойством (его значение хранится в $M[i,l]$), и был путь из $l$ в $j$ (его значение хранится в $M[l,j]$), то в новом графе свойство $M[i,l] \otimes M[l,j]$ аддитивно (используя $\oplus$) учтётся в свойстве пути из $i$ в $j$.
+Как мы видели, достаточно естественное представление графа --- это его матрица смежности. Далее можно заметить некоторое сходство между определением матричного умножения~\ref{def:MxM} и мыслями, которыми мы руководствовались, вводя операцию $\otimes$ (\ref{itm:otimesIntro}).
+Действительно, пусть есть матрица $M$ размера $n \times n$ над $\mathbb{G} = (S,\oplus,\otimes)$\footnote{Здесь мы уже сталкиваемся с тем, что могут иметь смысл относительно экзотические алгебраические структуры. Действительно, как мы выяснили, матрица смежности может быть определена на чем-то более бедным, чем полукольцо, а матичное умножение мы определяли над полукольцом. Но если задуматься, то и для определения произведения матриц полукольцо вовсе необязательно, достаточно более бедной структуры.} --- матрица смежности графа. Умножим её саму на себя: вычислим $M'= M \cdot M$. Тогда, по~\ref{def:MxM}, $M'[i,j] = \bigoplus_{0 \leq l < n} M[i,l] \otimes M[l,j]$. Размер $M'$ также $n \times n$. То есть $M'$ задаёт такой граф, что в нём будет путь со свойством, являющимся агрегацией свойств всех путей, составленных из двух подпутей в исходном графе. А именно, если в исходном графе есть путь из $i$ в $l$ с некоторым свойством (его значение хранится в $M[i,l]$), и был путь из $l$ в $j$ (его значение хранится в $M[l,j]$), то в новом графе свойство $M[i,l] \otimes M[l,j]$ аддитивно (используя $\oplus$) учтётся в свойстве пути из $i$ в $j$.
 
 Таким образом, произведение матриц смежности соответствует обработке информации о путях интересующим нас образом. Это наблюдение позволяет предложить решение задач анализа свойств путей, основанное на операциях над матрицами. Рассмотрим такое решение для задачи о кратчайших путях.
 

tex/TensorProduct.tex

@@ -26,7 +26,7 @@ \section{Тензорное произведение}
 Иными словами, тензорным произведением двух графов является граф, такой что:
 \begin{enumerate}
  \item множество вершин --- это прямое произведение множеств вершин исходных графов;
- \item ребро между вершинами $v=(v_1,v_2)$ и $u=(u_1,u_2)$ существует тогда и только тогда, когда существуют рёбра между парами вершин $v_1$, $u_1$ и $v_2$, $u_2$ в соответсвующих графах.
+ \item ребро между вершинами $v=(v_1,v_2)$ и $u=(u_1,u_2)$ существует тогда и только тогда, когда существуют рёбра между парами вершин $v_1$, $u_1$ и $v_2$, $u_2$ в соответствующих графах.
 \end{enumerate}
 
 Для того, чтобы построить тензорное произведение ориентированных графов, необходимо в предыдущем определении, в условии существования ребра в результирующем графе, дополнительно потребовать, чтобы направления рёбер совпадали.
@@ -176,9 +176,12 @@ \section{Алгоритм}
 Во время итерации по ячейкам матрицы транзитивного замыкания алгоритм сначала проверяет наличие ребра в данной ячейке, а затем --- принадлежность стартовой и конечной вершин ребра к стартовому и конечному состоянию входного рекурсивного автомата.
 При удовлетворении этих условий алгоритм добавляет нетерминал (или нетерминалы), соответствующие стартовой и конечной вершинам ребра, в ячейку матрицы $M_2$, полученной при помощи функции $getCoordinates(i,j)$.
 
-Представленный алгоритм не требует преобразования грамматики в ОНФХ, более того, рекурсивный автомат может быть минимизирован. Однако, результатом тензорного рпоизведения является матрица существенно б\'{о}льшего размера, чем в алгоритме, основанном на матричном рпоизведении. кроме этого, необходимо искать транзитивное замыкание этой матрицы.
+Представленный алгоритм не требует преобразования грамматики в ОНФХ, более того, рекурсивный автомат может быть минимизирован. Однако, результатом тензорного рпоизведения является матрица существенно б\'{о}льшего размера, чем в алгоритме, основанном на матричном рпоизведении.
+Кроме этого, необходимо искать транзитивное замыкание этой матрицы.
 
-Ещё одним важным свойством представленного алгоритма является его оптимальность при обработке регулярных запросов. Так как по контекстно свободной грамматике мы не можем поределить, задаёт ли она регулярный язык, то при добавлении в язык запросов возмодности задавать контекстно-свобдные ограничения, возникает проблема: мы не можем в общем случае отличить регулярный запрос от контекстно-свободного. Следовательно, мы вынуждены применять наиболее общий механизм выполнения заросов, что может приводить к существенным накладным расходам при выполнении регулярного запроса. Данный же алгоритм не выполнит лишних действий, так как сразу выполнит классическое пересечение двух автоматов и получит результат.
+Ещё одним важным свойством представленного алгоритма является его оптимальность при обработке регулярных запросов.
+Так как по контекстно свободной грамматике мы не можем определить, задаёт ли она регулярный язык, то при добавлении в язык запросов возможности задавать контекстно-свободные ограничения, возникает проблема: мы не можем в общем случае отличить регулярный запрос от контекстно-свободного. Следовательно, мы вынуждены применять наиболее общий механизм выполнения заросов, что может приводить к существенным накладным расходам при выполнении регулярного запроса.
+Данный же алгоритм не выполнит лишних действий, так как сразу выполнит классическое пересечение двух автоматов и получит результат.
 
 \section{Примеры}
 
@@ -411,8 +414,8 @@ \section{Примеры}
 \end{pmatrix}
 \]
 Уже можно заметить закономерность: на каждой итерации мы добавляем ровно одно новое ребро во входной граф, ровно как и в алгоритме, основанном на матричном произведении, и как в алгоритме Хеллингса.
-То есть находим ровно одну новую пару вешин, между которыми существует интересующий нас путь.
-Попробуйте спрогонозировать, сколько итераций нам ещё осталось сделать.
+То есть находим ровно одну новую пару вершин, между которыми существует интересующий нас путь.
+Попробуйте спрогнозировать, сколько итераций нам ещё осталось сделать.
 
 \textbf{Итерауия 4}.
 Продолжаем. Вычисляем тензорное произведение.
@@ -862,7 +865,7 @@ \section{Примеры}
 \end{array}\right)
 \end{scaledalign}
 
-В результате вычисления транзитивного замыкания появилось большое количество новых рёбер, однако нас будут интересновать только те, информация о которых храниться в левом верхнем блоке.
+В результате вычисления транзитивного замыкания появилось большое количество новых рёбер, однако нас будут интересовать только те, информация о которых храниться в левом верхнем блоке.
 Остальные рёбра не соответствуют принимающим путям в рекурсивном автомате (убедитесь в этом самостоятельно).
 
 После добавления соответствующих рёбер, мы получим следующий граф: