lab-3-financial-operations

НИУ ВШЭ НН. Моделирование финансовых операций. 17ПМИ. Домашнее задание 3. Неопределенность оптимального портфеля. Оптимизация CVaR.

Целью работы является оценка неопределенности оптимального портфеля для нормального многомерного распределения и двух способов вычисления оптимального портфеля (оптимизация в модели Марковица и оптимизация CVaR)

Подготовка модели.

Выберите на рынке 20 активов (N=20). По наблюдениям за 2018 год оцените математические ожидания доходностей и матрицу ковариаций доходностей (используйте выборочную матрицу ковариаций). Найденные вектор средних и матрица ковариаций будут далее использованы в экспериментах как «истинные» вектор E=(E 1 , E 2 , …, E N ) и матрица ковариаций (σ i,j ). Убедитесь, что матрица ковариаций невырожденная (если она близка к вырожденной, то измените состав активов).

1. Истинный оптимальный портфель в модели Марковица с заданным отношением к риску.

Задана константа b. Решите задачу оптимизации -E(x)+ b σ(x) -> min, x 1 +x 2 +…+x N =1, x i ≥0 (т.е. найдите оптимальный портфель с отношением к риску, равным b). Найдите и зафиксируйте веса портфеля и значение целевой функции. Здесь E(x)= E 1 x 1 +E 2 x 2 +…+E N x N , σ 2 (x)=∑∑ σ i,j x i x j

2. Оценка неопределенности оптимального портфеля в модели Марковица с заданным отношением к риску.

2.1 Задайте число наблюдений T=30. С помощью генератора многомерного нормального распределения создайте выборку размера Т из нормального распределения с вектором математических ожиданий E=(E 1 , E 2 , …, E N ) и матрицей ковариаций (σ i,j ).

2.2. По построенной выборке сделайте оценку E est вектора математических ожиданий и оценку (σ est i,j ) матрицы ковариаций.

2.3 Используя эти оценки решите задачу оптимизации -E est (x)+ b σ est (x) -> min, x 1 +x 2 +…+x N =1, x i ≥0 Здесь E est (x)= E est 1 x 1 + E est 2 x 2 +…+ E est N x N , [σ est (x)] 2 =∑∑ σ est i,j x i x j (т.е. найдите выборочный оптимальный портфель с отношением к риску, равным b). Найдите и зафиксируйте веса портфеля и значение целевой функции.

2.4 Сравните два портфеля: истинный (п.1) и выборочный (п.2.3). Оцените относительную ошибку в определении весов портфеля в норме Manhattan (L 1 норма Минковского). Сделайте выводы. Сделайте сравнение в системе координат (σ, E).

2.5. Повторите эксперимент S=40 раз и оцените среднюю относительную ошибку по S повторениям эксперимента. Сделайте выводы. Сделайте сравнение в системе координат (σ, E).

2.6 Предположите, что нам известны точные значения математических ожиданий E=(E 1 , E 2 , …, E N ). Повторите пп. 2.2-2.5. используя оценку только матрицы ковариаций (т.е. решайте задачу оптимизации -E(x)+ b σ est (x) -> min, x 1 +x 2 +…+x N =1, x i ≥0 Здесь E(x)= E 1 x 1 +E 2 x 2 +…+E N x N , [σ est (x)] 2 =∑∑ σ est i,j x i x j Сравните точность этих портфелей и портфелей п.2.3

3. Оценка неопределенности оптимального CVaR портфеля

3.1 Уровень значимости β выбран 0,95. Число наблюдений T. Используя сгенерированные наблюдения из п.2.1 решите задачу ЛП для определения оптимального CVaR β портфеля. Найдите и зафиксируйте веса портфеля и значение целевой функции CVaR.

3.2 Сравните два портфеля: истинный (п.1) и найденный в п.3.1. Оцените относительную ошибку в определении весов портфеля в норме Manhattan (L 1 норма Минковского). Сравните с ошибкой портфеля из п. 2.3

3.3. Повторите эксперимент S раз и оцените среднюю относительную ошибку по S повторениям эксперимента. Сделайте выводы. Сравните с ошибкой из п. 2.5

Примечание 1. Константа b подобрана таким образом, что истинный оптимальный CVaR портфель совпадает с истинным оптимальным портфелем п.1. Значение константы смотри в упражнениях к теме

Примечание 2. Для сравнения результатов п.2 и п.3 используйте одни и те же сгенерированные наблюдения.