update stat

Author: gucio321

assets/notes/statystyczna/statystyczna_2025.02.01.md

@@ -0,0 +1,75 @@
+### Rozkłady
+
+1. Poissona $P_k(\mu) = \frac{\mu^k}{k!}e^{-\mu}$, gdzie $\mu > 0$.
+Wartość oczekiwana: $E(X) = \mu$ (jedyne dziwne przejście to z Teylora mamy $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\mu^i}{i!} = e^{\mu}$).
+2. Geometryczny $G(p) = p* (1-p)^{k-1}$, gdzie $k \in \mathbb{N}$.
+Wartość oczekiwana: $E(X) = \frac{1}{p}$ (w obliczeniu robimy pochodna z $\sum_k^\infty q^k = \frac{1}{1-q}$ - suma ciągu geometrycznego)
+
+### Populacja a Próba
+
+Prawdę mówiąc te pojęcia są często używane praktycznie wszędzie w wykładach ale... jest to  trochę mylące.
+
+```{admonition} Populacja
+zbiór **WSZYSTKICH** obiektów, które nas interesują.
+
+Na przykład - badając wzrost ludzi na świecie populację stanowią... wszyscy ludzie na świecie.
+Inny przykład - badamy czy cegły danego producenta są wadliwe. Populacje stanowią wszystkie cegły tego kolesia ever.
+```
+
+```{admonition} Próba
+jak widać z powyższej definicji badanie całej populacji jest średnio wykonalne/praktyczne.
+
+**Próba** to __Element__ populacji co do którego mamy dane.
+
+W przykładach powyżej:
+- 1000 losowo wybranych osób
+- n losowych cegieł.
+```
+
+| Nazwa          | Populacja | Próba    |
+|----------------|-----------|----------|
+| średnia        | $\mu$     | $\bar{x} |
+| wariancja      | $\sigma^2$| $s^2$    |
+
+
+```{admonition} Centralne Twierdzenie Graniczne
+mamy n niezależnych zmiennych losowych $X_1, X_2, ..., X_n$ pochodzących z tego samego rozkładu.
+
+Niech: $S_n = X_1 + X_2 + ... + X_n$ oraz $\bar{X} = \frac{S_n}{n}$
+
+wtedy dzieje się fajna rzecz, otóż:
+
+$$
+\lim_{n \to \infty} \frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}} = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = N(0,1)
+$$
+```
+
+Polecam poniższy kod:
+
+```python
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+def central_limit_theorem_demo(sample_size=1000, num_samples=10000): # ode mnie: można ustawić sample size na 1 i za dużo to nie zmieni - dalej działa
+    means = []
+    for _ in range(num_samples):
+        sample = np.random.uniform(0, 1, sample_size)  # Losujemy próbkę z rozkładu jednostajnego
+        means.append(np.mean(sample))  # Obliczamy średnią próbki
+
+    # Rysowanie histogramu średnich
+    plt.hist(means, bins=50, density=True, alpha=0.6, color='b')
+
+    # Teoretyczna krzywa normalna
+    mu = 0.5  # Średnia rozkładu jednostajnego U(0,1)
+    sigma = np.sqrt(1/12) / np.sqrt(sample_size)  # Wariancja U(0,1) wynosi 1/12
+    x = np.linspace(min(means), max(means), 100)
+    plt.plot(x, (1 / (sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(- (x - mu) ** 2 / (2 * sigma ** 2)), 'r', linewidth=2)
+
+    plt.title(f'CTG: Średnie {num_samples} próbek (rozmiar próbki={sample_size})')
+    plt.xlabel('Średnia próbek')
+    plt.ylabel('Gęstość prawdopodobieństwa')
+    plt.show()
+
+# Uruchamiamy demonstrację
+central_limit_theorem_demo(sample_size=30, num_samples=10000)
+```