Lattice 课程作业1.0

[qijinzing]

Explain why (Z+\sqrt(2)Z) is not a lattice.

[mountaintower]

由于√2是无理数，根据Weyl定理，对于任意小的正数 ϵ，存在整数 m 和 n，使得 ∣m√2−n∣<ϵ。
这说明在 (1 + √2) Z 中，可以找到两个不同的元素，使得它们之间的距离可以任意接近，因此说明这两个元素不是离散的，也因此 (1 + √2) Z 就不是一个格。

[cc030101]

本质就是要证明 1+$\sqrt{2}$构成的加法群是连续的。考虑$m+n\sqrt{2}$,当$m=-1,n=2$时，$\lim\limits_{k \to \infty} \alpha^k = \lim\limits_{k \to \infty} (\sqrt{2} - 1)^k = 0$，也就是说对于任意一个正数$\epsilon$(无论多小)，我们总有一个k，使得$0 &lt; (\sqrt{2} - 1)^k &lt; \epsilon$，所以在0的中心附近，不存在这么一个“空心区域”，也就是说这个群不是离散的。既然这个群是连续的，自然无法构成一个格。

[Noi1r]

集合 ${n \sqrt{2} (\bmod 1) \mid n \in \mathbb{Z}}$（即 $n \sqrt{2}$ 的小数部分）在 $[0,1)$ 中是稠密的。对于任何给定的 $\epsilon&gt;0$ ，我们总能找到两个不同的整数 $n_1, n_2$ 使得 $0&lt;\left|\left(n_1 \sqrt{2}-\left\lfloor n_1 \sqrt{2}\right\rfloor\right)-\left(n_2 \sqrt{2}-\left\lfloor n_2 \sqrt{2}\right\rfloor\right)\right| = \left| (n_1 - n_2)\sqrt{2} -(\left\lfloor n_1 \sqrt{2}\right\rfloor -\left\lfloor n_2 \sqrt{2}\right\rfloor ) \right| &lt; \epsilon$

[oceanqdu]

格的定义：格是一个离散的加法子群 of R^n

而由于(1 + √2)是一个无理数，其子群形式为n(1 + √2), n∈Z

Kronecker逼近定理：由于无理数的整数倍的小数部分在 [0,1) 上是均匀分布的，因此对于任意实数 r，都可以找到一个整数 n 使得 nα 的小数部分接近 r 的小数部分。通过选择合适的整数倍，可以使得 nα 无限接近 r。
因此子群是稠密的， 不满足格中离散的定义

[friendsAI]

对于任何无理数α，整数倍数 {nα}的小数部分在区间 [0,1) 中均匀分布。所以Z+sqrt(2)Z 是连续的，不是离散的，故不形成格。

[mhchia]

離散：每個格點距離 $\epsilon$ 的區域只有他自己

假設 $Z+\sqrt{2}Z$ 是個格 $\epsilon$ > 0，因為 $\sqrt{2}$ 是無理數，可知 $n\sqrt{2}$ 的小數部分在 $[0,1)$ 是稠密的 -> 存在整數 $n, m$ s.t. $0 &lt; n\sqrt{2} - m &lt; \epsilon$。但 $n\sqrt{2} - m$ 是個格點且其距離 0 格點 < $\epsilon$，矛盾。因此不存在該 $\epsilon$， $Z+\sqrt{2}Z$ 不離散、不是格

[haogaobill]

假设这个群G是个lattice，那么对某些非零实数a，G=aZ，显然a 属于G，根据定义，存在整数m，n，使得a=m+nsqrt（2），但是1也属于G，所以存在一个整数k，使得1=k（m+n*sqrt（2）），从而得sqrt（2）=（1-km）/kn，得出矛盾，所以G不是一个lattice

[hampy-chan]

因为 $Z+\sqrt{2} Z$ 不是 $R$ 的离散子群：由Dirichlet's approximation theorem知，存在无穷多对整数 $p, q$使得

$$ \left|\sqrt{2} - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2} \text{ or equivalently }, \left|q\sqrt{2} - p\right| < \frac{1}{|q|} $$

这意味这对任意 $\epsilon &gt; 0$ ，存在距离小于 $\epsilon$ 的群元素 $p, q\sqrt{2} \in Z + \sqrt{2} Z$ ，也即 $Z + \sqrt{2} Z$ 不是离散的。

(Side note: Dirichlet's approximation theorem可以由课上提到的格的Minkowski Theorem导出)

[kings2147]

lattice的定义是Rⁿ的离散加法子群。

1. 离散即非连续。
2. 加法子群即对加法封闭，有逆元。

证明Z+√2Z不是一个格

由√2为无理数，知n*√2在模1空间即[0,1)下均匀分布，存在m, n ∈ Z，使得0 <= |n*√2 - m| < ϵ，其中ϵ为任意小的实数，显然Z+√2Z在一维情形下不是离散的，故不是一个格。

[zheng218]

一个格指的是 Rⁿ中的一个离散加法子群，原因在于√2是无理数导致集合稠密。

[JohnsonLo00]

假设 $\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ 是一个格，则 $\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ 是离散的.

而由 Weyl theorem 可知， $n\sqrt{2}\mod 1=n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor$ 在 $[0,1)$ 上是均匀稠密的.

又因为 $n, -\lfloor n\sqrt{2}\rfloor\in\mathbb{Z}$，则 $n\sqrt{2}-\lfloor n\sqrt{2}\rfloor\in\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$.

于是，存在由无穷多个 $\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ 上的元素所构成的稠密子集，矛盾.

因此， $\mathbb{Z}+\sqrt{2}\mathbb{Z}$ 不是一个格. 证毕.

[wran96]

因为格是一个离散的加法子群，其满足离散性，且具有加法和减法封闭性。
而Z+\sqrt(2)Z中，由于\sqrt(2)是无理数，导致该结构中存在两个点可以任意接近，不满足离散性的要求（即要求空间中任意两个点的距离至少>r），因此Z+\sqrt(2)Z不是格

[lzw65]

从分布可以看到：

1. 这些点分布得非常密集；

2. 在任意一个小区间中都可以找到多个点；

所以这个集合在实轴上不是离散的，而是趋近于稠密。

这就是它 不是晶格（lattice） 的关键原因。

[lingering]

根据格的定义：
1: 在R中为加法子群
2: 是离散的，即格上任意两点存在min |p_1-P_2| > d (d>0)

对于任意无理数 r，存在一个有理数q, 使得 ｜r-q｜< \epsilon, \epsilon可以无限趋近于零。 因此在Z+ \sqrt(2)Z上，选择一个点，存在一个点使得 |p_1-P_2| < d。 故这个不是一个格。

[cmdscz]

因为要叫“格”，子群必须 离散 且 秩等于所在空间维数。

在 ℝ 里，点间距得有统一下限 ε；但 1 − q√2 这类数可让间距无限趋近 0 ⇒ 不离散。

它用整数 m,n 写成 m+n√2，需要两条独立基（秩 2），而 ℝ 只有 1 维 ⇒ 秩过高。
两条都不合，自然不是格。

[qin-math]

不满足离散性,即：存在一个正数ϵ>0，使得集合中任意两个不同元素的距离都不小于ϵ.但 Z+Z√2中存在无限多个非零元素可以任意接近 0.
另外证明。（从交换代数的角度看）Z+Z√2作为加法群，且Z+Z√2~Z⊕Z（秩为 2 的自由阿贝尔群），高秩的自由阿贝尔群无法在低维欧几里得空间中离散嵌入，因此Z+Z√2不是格。

[sunjianping-alt]

本质就是要证明 1+sqr(2)构成的加法群是连续的。考虑m+n,当m=−1,n=1时，,对于任意一个正数ϵ(无论多小)，我们总有一个k，使得0<（sqr(2)-1）k次方<ϵ，所以在0的中心附近，不存在这么一个“空心区域”，也就是说这个群不是离散的。既然这个群是连续的，自然无法构成一个格。

[loamyve]

因为它不是离散的。sqrt(2)是无理数。

[Sgyldd]

格是一个具有加法封闭性以及离散性的加法子群。集合 (Z+ √2Z)={m+n √2∣m,n∈Z}是由1和√2生成的R的一个加法子群。 (Z+ √2Z)不是离散的关键点在于 √2是一个无理数，因此1和 √2在R上是线性无关的。
将Kronecker逼近定理（对于无理数 α，集合{nα mod 1| n∈Z}在区间[0,1)中是稠密的）应用到 √2中：考虑到Z+ √2Z中的元素m+ √2n，我们可以固定m并变化n使得n √2的小数部分可以任意接近任何实数r∈[0,1)，因此对于任意ϵ>0，可以选取不同的n使得两个不同的元素m+ n√2和m′+n′√2之间的距离小于ϵ。这表明Z+ √2Z的元素在R中是稠密的，而非离散的。
一个格必须满足离散性，但Z+ √2Z的元素可以任意接近，因此不满足离散性。
直观理解一下：如果把Z+ √2Z画在实数轴上，它的点会“堆积”在任何区间内，而不是像Z那样均匀分布。这种稠密性使得它无法形成一个离散的格。

[mmsyan]

1和 √2线性无关（在有理数域上），因而 (Z+ √2Z)在实数轴上是稠密的，无法形成离散的格点结构。
稠密：对于任意点a，任意点b，都能找到点c，使得c到a的距离小于b的距离。

[Kunram]