math/na/4

[giscus[bot]]

math/na/4

NoughtQ的笔记本，主要记录一些 CS 相关的笔记

https://note.noughtq.top/math/na/4

[CrazySpottedDove]

我有一个疑问，在求解高斯点的过程中，其实我们只需要W(x)和任意的阶数不超过n的多项式都正交就可以了，那么，我们只要选任意一组基计算就可以，为什么要约束它是正交基呢？

[NoughtQ]

说来惭愧，到目前为止我还没认真地学过 NA，目前的笔记只能说是对 PPT 的摘录，还没有经过我大脑的加工。所以说不准笔记的内容有误；而且以我目前的水平也没法解答你的疑惑orz。预计两周之后我会回过头来看看这个问题，如果这段时间内你已经想通的话欢迎在评论区留个言（如果两周后还没回复的话戳我一下）

[NoughtQ]

我大概明白是怎么回事了。我们可以从精度和稳定性两方面考虑：

• 精度：可以看到，高斯求积能够做到“对于 n+1 个点而言精度为 2n+1”，如果是选择“任意一组基”的话，我想这个公式就退化到前面讲的诸如牛顿-科茨之类的公式，它们就没法达到高斯求积的这种精度
• 稳定性：对于一般的（幂级数）基，计算的时候很容易出现病态(ill-conditioned)问题，尤其是在阶数较高的情况。而正交多项式具备相对稳定的性质。

综上，我们在高斯求积中选用的是正交基。我讲得可能还是不太清楚，欢迎继续和我讨论😼