diff --git a/tex/GLL-based_CFPQ.tex b/tex/GLL-based_CFPQ.tex
index d663728..e43a139 100644
--- a/tex/GLL-based_CFPQ.tex
+++ b/tex/GLL-based_CFPQ.tex
@@ -109,7 +109,8 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
   Пусть $G = \langle N, \Sigma, P, S \rangle$~--- КС-грамматика. Множество $\first[k]$ определено для сентенциальной формы $\alpha$ следующим образом:
   \[ \first[k](\alpha) = \{ \omega \in \Sigma^* \mid \alpha \derives{} \omega \text{ и } |\omega| < k \text{ либо } \exists \beta: \alpha \derives{} \omega \beta \text{ и } |\omega| = k \}
   \]
-  , где $\alpha, \beta \in (N \cup \Sigma)^*.$
+  , где $\alpha, \beta \in (N \cup \Sigma)^*.$ Это означает, что в общем случае $\alpha$ может быть как одиночным нетерминалом, так и произвольной цепочкой из смешанного алфавита.
+  Далее в алгоритме построения множества $\first[k]$ это наглядно показано.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
@@ -165,6 +166,8 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
   \first(A') &= \{ a, b \}
 \end{align*}
 \end{multicols}
+Как можно заметить, в примере поиска множества $\first$ в качестве аргумента функции передается нетерминал, но множество
+$\first$ ищется для правой части правила.
 
 Пример множеств $\follow$ для нетерминалов грамматики $G$:
 
@@ -215,7 +218,7 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
 \begin{example}Пример работы LL анализатора.
 Рассмотрим грамматику $S \to aSbS \mid \varepsilon$ и выводимое слово $\omega = abab$.
 
-Расмотрим пошагово работу алгоритма, будем использовать таблицу, построенную в предыдущем примере:
+Расмотрим пошагово работу алгоритма c построением дерева, будем использовать таблицу, построенную в предыдущем примере:
 
 \begin{enumerate}
   \item Начало работы.
@@ -264,6 +267,14 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         \textcolor{red}{a} & b & a & b & \$ \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{1cm}{1cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+    \end{tikzpicture}
+    }
+  \end{center}
+
 \item Снимаем терминал $a$ со стека и двигаем указатель.
 
     Стек: \,
@@ -280,6 +291,20 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         a & \textcolor{red}{b} & a & b & \$ \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{1.5cm}{1.3cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_0) [below =of s_0]  {$(a)$};
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      ;
+    \end{tikzpicture}
+    }
+  \end{center}
+
 \item Ищем ячейку с координатами (S, b), применяем продукцию из ячейки.
 
     Стек: \,
@@ -294,6 +319,22 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         \hline
         a & \textcolor{red}{b} & a & b & \$ \\ \hline
     \end{tabular}
+    \begin{center}
+      \resizebox{3cm}{2cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_0) [below =of s_0]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (s_1) [right =of a_0]  {$(S)$};
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      (s_0) edge (s_1)
+      ;
+    \end{tikzpicture}
+  }
+\end{center}
+
 
 \item Снимаем терминал $b$ со стека и двигаем указатель.
 
@@ -309,6 +350,24 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         a & b & \textcolor{red}{a} & b & \$ \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{3cm}{2cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_1) [below =of s_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_0) [left =of s_1]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_0) [right =of s_1]  {$(b)$};
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      (s_0) edge (s_1)
+      (s_0) edge (b_0)
+      ;
+    \end{tikzpicture}
+  }
+\end{center}
+
   \item Ищем ячейку с координатами (S, a), применяем продукцию из ячейки.
 
     Стек: \,
@@ -326,6 +385,26 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         a & b & \textcolor{red}{a} & b & \$ \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{5cm}{3cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_1) [below =of s_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_0) [left =of s_1]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_0) [right =of s_1]  {$(b)$};
+      \node[symbol_node] (s_2) [right =of b_0]  {$(S)$};
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      (s_0) edge (s_1)
+      (s_0) edge (b_0)
+      (s_0) edge (s_2)
+      ;
+    \end{tikzpicture}
+    }
+  \end{center}
+
 \item Снимаем терминал $a$ со стека и двигаем указатель.
 
     Стек: \,
@@ -342,6 +421,27 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         a & b & a & \textcolor{red}{b} & \$ \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{6cm}{3.5cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_1) [below =of s_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_0) [left =of s_1]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_0) [right =of s_1]  {$(b)$};
+      \node[symbol_node] (s_2) [right =of b_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_1) [below =of s_2]  {$(a)$};
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      (s_0) edge (s_1)
+      (s_0) edge (b_0)
+      (s_0) edge (s_2)
+      (s_2) edge (a_1)
+      ;
+    \end{tikzpicture}
+    }
+  \end{center}
 \item Ищем ячейку с координатами (S, b), применяем продукцию из ячейки.
 
     Стек: \,
@@ -357,6 +457,31 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         a & b & a & \textcolor{red}{b} & \$ \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{6cm}{3.5cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_1) [below =of s_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_0) [left =of s_1]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_0) [right =of s_1]  {$(b)$};
+      \node[symbol_node] (s_2) [right =of b_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_3) [below =of s_2]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_1) [left =of s_3]  {$(a)$};
+
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      (s_0) edge (s_1)
+      (s_0) edge (b_0)
+      (s_0) edge (s_2)
+      (s_2) edge (a_1)
+      (s_2) edge (s_3)
+      ;
+    \end{tikzpicture}
+    }
+  \end{center}
+
 \item Снимаем терминал $b$ со стека и двигаем указатель.
 
     Стек: \,
@@ -371,6 +496,31 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         a & b & a & b & \textcolor{red}{\$} \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{6cm}{3.5cm}{
+      \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_1) [below =of s_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_0) [left =of s_1]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_0) [right =of s_1]  {$(b)$};
+      \node[symbol_node] (s_2) [right =of b_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_3) [below =of s_2]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_1) [left =of s_3]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_1) [right =of s_3]  {$(b)$};
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      (s_0) edge (s_1)
+      (s_0) edge (b_0)
+      (s_0) edge (s_2)
+      (s_2) edge (a_1)
+      (s_2) edge (s_3)
+      (s_2) edge (b_1)
+        ;
+    \end{tikzpicture}
+    }
+  \end{center}
 \item Ищем ячейку с координатами (S, \$), применяем продукцию из ячейки.
 
     Стек: \,
@@ -384,13 +534,42 @@ \section{LL(k)-алгоритм синтаксического анализа}
         a & b & a & b & \textcolor{red}{\$} \\ \hline
     \end{tabular}
 
+    \begin{center}
+      \resizebox{7cm}{4cm}{
+    \begin{tikzpicture}[shorten >=1pt,on grid,auto,node distance=1.8cm]
+
+      \node[symbol_node] (s_0)   {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_1) [below =of s_0]  {$(S)$}
+      \node[symbol_node] (a_0) [left =of s_1]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_0) [right =of s_1]  {$(b)$};
+      \node[symbol_node] (s_2) [right =of b_0]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (s_3) [below =of s_2]  {$(S)$};
+      \node[symbol_node] (a_1) [left =of s_3]  {$(a)$};
+      \node[symbol_node] (b_1) [right =of s_3]  {$(b)$};
+      \node[symbol_node] (s_4) [right =of b_1]  {$(S)$};
+
+
+      \path[->]
+      (s_0) edge (a_0)
+      (s_0) edge (s_1)
+      (s_0) edge (b_0)
+      (s_0) edge (s_2)
+      (s_2) edge (a_1)
+      (s_2) edge (s_3)
+      (s_2) edge (b_1)
+      (s_2) edge (s_3)
+      (s_2) edge (s_4)
+      ;
+    \end{tikzpicture}
+    }
+  \end{center}
 \item Оказались в конце строки и на вершине стека символ конца --- завершаем разбор.
 
 \end{enumerate}
 
 \end{example}
 
-Можно расширить данный алгоритм так, чтобы он строил дерево вывода. Дерево будет строиться сверху вниз, от корня к листьям. Для этого необходимо расширить шаги алгоритма.
+Дерево строится сверху вниз, от корня к листьям. Для этого выолняются следующие шаги алгоритма:
 \begin{itemize}
   \item В ситуации, когда мы читаем очередной терминал (на вершине стека и во входе одинаковые терминалы), мы создаём лист с соответствующим терминалом.
   \item В ситуации, когда мы заменяем нетерминал на стеке на правую часть продукции в соответствии с управляющей таблицей, мы создаём нетерминальный узел соответствующий применяемой продукции.
diff --git a/tex/LinearAlgebra.tex b/tex/LinearAlgebra.tex
index 83345d6..6b002a2 100644
--- a/tex/LinearAlgebra.tex
+++ b/tex/LinearAlgebra.tex
@@ -320,7 +320,7 @@ \section{Полукольцо}
 \section{Кольцо}
 
 \begin{definition}[Кольцо]
-    Непустое множество $R$ с двумя бинарными операциями $\oplus: R \times R \to R$ (умножение) и $\otimes: R \times R \to R$ (сложение) называется \emph{кольцом}, если выполнены следующие условия.
+    Непустое множество $R$ с двумя бинарными операциями $\oplus: R \times R \to R$ (сложение) и $\otimes: R \times R \to R$ (умножение) называется \emph{кольцом}, если выполнены следующие условия.
     \begin{enumerate}
         \item $(R, \oplus)$~--- это абелева группа, нейтральный элемент которой~--- $\Bbbzero$.
               Для любых $a, b, c \in R$:
@@ -331,11 +331,11 @@ \section{Кольцо}
                   \item для любого $a \in R$ существует $-a \in  R$, такой что $a + (-a) = \Bbbzero$.
               \end{itemize}
               В последнем пункте кроется отличие от полукольца.
-        \item $(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- $\Bbbzero$.
+        \item $(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- 1.
               Для любых $a, b, c \in R$:
               \begin{itemize}
                   \item $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
-                  \item $\Bbbzero \otimes a = a \otimes \Bbbzero = a$
+                  \item 1 \otimes a = a \otimes 1 = a$
               \end{itemize}
         \item $\otimes$ дистрибутивно слева и справа относительно $\oplus$:
               \begin{itemize}