Merge branch 'typos' into LinAl

Author: gsvgit

README.md

@@ -20,7 +20,7 @@
 
 ## Скачать pdf
 
-* Текущую версию можно найти в [артефактах сборки](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/actions/runs/1004758399).
+* Текущую версию можно найти в [артефактах сборки](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/actions).
 * Официальные "издания" можно найти в [релизах](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/releases).
 
 ## Собрать из исходников

tex/Context-Free_Languages.tex

@@ -77,6 +77,11 @@ \chapter{Контекстно-свободные грамматики и язы
 \textit{Левосторонний вывод}. На каждом шаге вывода заменяется самый левый нетерминал.
 \end{definition}
 
+\begin{definition}
+  \textit{Правосторонний вывод}. На каждом шаге вывода заменяется самый правый нетерминал.
+\end{definition}
+
+
 \begin{example}
 Пример левостороннего вывода цепочки в грамматике
 
@@ -429,7 +434,7 @@ \section{Лемма о накачке}
     \item Теперь мы можем копировать кусок дерева между этими повторениями $N_1$ и таким образом накачивать исходную цепочку.
 \end{enumerate}
 
-Надо только проверить выполение ограничений на длины.
+Надо только проверить выполнение ограничений на длины.
 
 Нахождение разбиения и пример накачки продемонстрированы на рисунках~\ref{fig:pumping1} и~\ref{fig:pumping2}.
 
@@ -477,24 +482,24 @@ \section{Замкнутость КС языков относительно оп
   \item Разность с регулярными языками: если $L_1$ --- контекстно-свободный, а $L_2$ --- регулярный, то  $L_3 = L_1 \setminus L_2$ --- контекстно-свободный.
 \end{enumerate}
 \end{theorem}
-Для доказательства пунктов 1--4 можно построить КС граммтику нового языка имея грамматики для исходных.
-Будем предполагать, что множества нетерминальных символов различных граммтик для исходных языков не пересекаются.
+Для доказательства пунктов 1--4 можно построить КС грамматику нового языка имея грамматики для исходных.
+Будем предполагать, что множества нетерминальных символов различных грамматик для исходных языков не пересекаются.
 \begin{enumerate}
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 \mid S_2\} ,S_3\rangle$ --- граммтика для $L_3$.
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- грамматика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- грамматика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 \mid S_2\} ,S_3\rangle$ --- грамматика для $L_3$.
 
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 S_2\} ,S_3\rangle$ --- граммтика для $L_3$.
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- грамматика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- грамматика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 S_2\} ,S_3\rangle$ --- грамматика для $L_3$.
 
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1 \cup \{S_2\}, P_1 \cup \{S_2 \to S_1 S_2\ \mid \varepsilon\}, S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$.
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- грамматика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1 \cup \{S_2\}, P_1 \cup \{S_2 \to S_1 S_2\ \mid \varepsilon\}, S_2\rangle$ --- грамматика для $L_2$.
 
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1, \{N^i \to \omega^R \mid N^i \to \omega \in P_1 \}, S_1\rangle$ --- граммтика для $L_2$.
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- грамматика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1, \{N^i \to \omega^R \mid N^i \to \omega \in P_1 \}, S_1\rangle$ --- грамматика для $L_2$.
 \end{enumerate}
 
 Чтобы доказать замкнутость относительно пересечения с регулярными языками, построим по КС грамматике рекурсивный автомат $R_1$, по регулярному выражению --- детерминированный конечный автомат $R_2$, и построим их прямое произведение $R_3$.
 Переходы по терминальным символам в новом автомате возможны тогда и только тогда, когда они возможны одновременно и в исходном рекурсивном автомате и в исходном конечном.
-За рекурсивные вызовы отвечает исходныа рекурсивный автомат.
+За рекурсивные вызовы отвечает исходный рекурсивный автомат.
 Значит цепочка принимается $R_3$ тогда и только тогда, когда она принимается одновременно $R_1$ и $R_2$: так как состояния $R_3$ --- это пары из состояния $R_1$ и $R_2$, то по трассе вычислений $R_3$ мы всегда можем построить трассу для $R_1$ и $R_2$ и наоборот.
 
-Чтобы доказать замкнутость относительно разности с регулятным языком, достаточно вспомнить, что регулярные языки замкнуты относительно дополнения, и выразить разность через пересечение с дополнением:
+Чтобы доказать замкнутость относительно разности с регулярным языком, достаточно вспомнить, что регулярные языки замкнуты относительно дополнения, и выразить разность через пересечение с дополнением:
 $$
 L_1 \setminus L_2 = L_1 \cap \overline{L_2}
 $$
@@ -518,7 +523,7 @@ \section{Замкнутость КС языков относительно оп
 \begin{enumerate}
 \item Рассмотрим языки $L_4 = \{a^m b^n c^k \mid m \neq n, k \geq 0\}$ и $L_5 = \{a^m b^n c^k \mid n \neq k, m \geq 0\}$.
 Эти языки являются контекстно-свободными.
-Это легко заметить, если знать, что язык $L'_4 = \{a^m b^n c^k \mid 0 \leq m < n, k \geq 0\}$ задаётся следующей граммтикой:
+Это легко заметить, если знать, что язык $L'_4 = \{a^m b^n c^k \mid 0 \leq m < n, k \geq 0\}$ задаётся следующей грамматикой:
 \begin{align*}
 S \to & S c & T \to & a T b \\
 S \to & T &   T \to & T b \\
@@ -527,10 +532,10 @@ \section{Замкнутость КС языков относительно оп
 
 \item Рассмотрим язык $L_6 = \overline{L'_6} = \overline{\{a^n b^m c^k \mid n \geq 0, m \geq 0, k \geq 0\}}$. Данный язык является регулярным.
 
-\item Рассмотрим язык $L_7 = L_4 \cup L_5 \cup L_6$ --- контектсно свободный, так как является объединением контекстно-свободных.
+\item Рассмотрим язык $L_7 = L_4 \cup L_5 \cup L_6$ --- контекстно-свободный, так как является объединением контекстно-свободных.
 
 \item Рассмотрим $\overline{L_7} = \{a^n b^n c^n \mid n \geq 0\} = L_3$: $L_4$ и $L_5$ задают языки с правильным порядком символов, но неравным их количеством, $L_6$ задаёт язык с неправильным порядком символов.
-Из пердыдущего пункта мы знаем, что $L_3$  не является контекстно-свободным.
+Из предыдущего пункта мы знаем, что $L_3$  не является контекстно-свободным.
 
 \end{enumerate}
 

tex/FormalLanguageTheoryIntro.tex

@@ -25,7 +25,7 @@ \chapter{Общие сведения теории формальных язык
 При записи выражений символ точки (обозначение операции конкатенации) часто будем опускать: $a \cdot b = ab$.
 
 \begin{definition}
-\textit{Слово} над алфавитом $\Sigma$ --- это конечная конкатенация символов алфавита $\Sigma$: $\omega = a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_m$, где $\omega$ --- слово, а для любого $i$ $a_i \in \Sigma$.
+\textit{Слово} над алфавитом $\Sigma$ --- это конечная конкатенация символов алфавита $\Sigma$: $\omega = a_0 \cdot a_1 \cdot \ldots \cdot a_m$, где $\omega$ --- слово, а $a_i \in \Sigma$ для любого $i$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
@@ -61,7 +61,7 @@ \chapter{Общие сведения теории формальных язык
 
 
 %Теоретико-множественные задачи над языками и их применение.
-%О том, что моногое --- про пересечение, проверку пустоты, вложенность.
+%О том, что многое --- про пересечение, проверку пустоты, вложенность.