Первая версия раздел про бинарные операции и их базовые свойства.

Author: gsvgit

tex/FormalLanguageConstrainedReachabilityLectureNotes.bib

@@ -1,4 +1,4 @@
-8@book{Hopcroft+Ullman/79/Introduction,
+@book{Hopcroft+Ullman/79/Introduction,
     added-at = {2009-05-20T01:29:36.000+0200},
     author = {Hopcroft, John E. and Ullman, Jeff D.},
     biburl = {https://www.bibsonomy.org/bibtex/26f42b10773b0f97be73d4e0d6b8db3bf/sriram0339},
@@ -1352,10 +1352,11 @@ @article{BEATTY1980193
 abstract = "The structure of derivation trees over an LL(k) grammar is explored and a property of these trees obtained which is shown to characterize the LL(k) grammars. This characterization, called the LL(k) Left Part Theorem, makes it possible to establish a pair of iteration theorems for the LL(k) languages. These theorems provide a general and powerful method of showing that a language is not LL(k) when that is the case. They thus provide for the first time a flexible tool with which to explore the structure of the LL(k) languages and with which to discriminate between the LL(k) and LR(k) language classes. Examples are given of LR(k) languages which, for various reasons, fail to be LL(k). Easy and rigorous proofs to this effect are given using our LL(k) iteration theorems. In particular, it is proven that the dangling-ELSE construct allowed in PL/I and Pascal cannot be generated by any LL(k) grammar. We also give a new and straightforward proof based on the LL(k) Left Part Theorem that every LL(k) grammar is LR(k)."
 }
 
-@MISC{VavilovGroups,
-  author = "Николай Александрович Вавилов",
-  title = "КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП",
-  year = "2005",
-  url = "http://dobrochan.com/src/pdf/1512/%D0%92%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B2-%D0%9D.-%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F-%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F-%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BF.-%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82.pdf",
-  note = "Дата доступа: 29 июня 2021 г."
+@misc{VavilovGroups,
+  language={russian},
+  author = {{\CYRN}иколай Вавилов},
+  title = {КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП},
+  year = {2005},
+  url = {http://dobrochan.com/src/pdf/1512/Вавилов-Н.-Конкретная-теория-групп.-Основные-понят.pdf},
+  note = {Дата доступа: 29 июня 2021 г.}
 }

tex/FormalLanguageConstrainedReachabilityLectureNotes.tex

@@ -149,7 +149,7 @@
 
 \input{List_of_contributors}
 \input{Introduction}
-%\input{LinearAlgebra}
+\input{LinearAlgebra}
 \input{GraphTheoryIntro}
 \input{FormalLanguageTheoryIntro}
 \input{FLPQ}

tex/LinearAlgebra.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
-\chapter[Некоторые понятия линейной алгебры]{Некоторые понятия линейной алгебры\footnote{Неообходимо понимать, что, с одной строны, в данном разделе рассматриваются самые базовыепонятия, которые даются практически в любом учебнике алгебры. С другой же стороны, определения данных понятий оказываются весьма вариативными и часто вызывают дискуссии. Напрмиер, интересный анализ тонкостей определения группы можно найти в первом и втором параграфах первого раздела книги Николая Александровича Вавилова ``Конкретная теория групп''~\cite{VavilovGroups}. Мы же дадим определения, удобные для дальнейшего изложения материала.}}\label{chpt:LinAlIntro}
+\chapter[Некоторые понятия линейной алгебры]{Некоторые понятия линейной алгебры\footnote{Неообходимо понимать, что, с одной строны, в данном разделе рассматриваются самые базовые понятия, которые даются практически в любом учебнике алгебры. С другой же стороны, определения данных понятий оказываются весьма вариативными и часто вызывают дискуссии. Напрмиер, интересный анализ тонкостей определения группы можно найти в первом и втором параграфах первого раздела книги Николая Александровича Вавилова ``Конкретная теория групп''~\cite{VavilovGroups}. Мы же дадим определения, удобные для дальнейшего изложения материала.}}\label{chpt:LinAlIntro}
 
 При изложении ряда алгоритмов будут активно использоваться некоторые понятия и инструмены линейной алгебры, такие как моноид, полукольцо или матрица.
-В данном разделе необходимые понятия будут определены и приведены некоторые примеры соответствующих конструкций. Для более глубокого изучения материала рекомендуются соответствующие разделы алгебры.
+В данном разделе необходимые понятия будут определены и приведены некоторые примеры соответствующих конструкций. Для более глубокого изучения материала рекомендуются обратиться к соответствующим разделам алгебры.
 
 $$
 \oplus
@@ -82,22 +82,54 @@ \section{Бинарные операции и их свойства}
 \begin{example} Рассмотрим несколько примеров ассоциативных и неассоциативных операций.
 	\begin{itemize}
 		\item Опреация сложения на целых числах $+$ является ассоциативной.
-		\item Операция конкатенации на строках $+$ является ассоциативной: $$``ab" + ``c" \ = ``abc" \neq ``c" + ``ab" \ = ``cab".$$
 		\item Операция умножения на целых числах является ассоциативной.
+		\item Операция конкатенации на строках $+$ является ассоциативной: $$(``a" + ``b") + ``c" \ = ``a" + (``b" + ``c") = ``abc" .$$
 		\item Операция возведения в степень (над целыми числами) $\hat{\mkern6mu}$ не является ассоциативной:
 		$$(2\hat{\mkern6mu}2)\hat{\mkern6mu}3 = 4 \hat{\mkern6mu} 3 = 64 \neq 2\hat{\mkern6mu}(2\hat{\mkern6mu}3) = 2 \hat{\mkern6mu} 8  = 256.$$
 	\end{itemize}
 \end{example}
 
 
-\begin{definition}[дистрибутивность]
-!!!
+\begin{definition}[Дистрибутивность]
+Говорят, что бинарная операция $\otimes : S \times S \to S$ является дистрибутивной относительно бинарной операции $\oplus : S \times S \to S$, если 
+\begin{enumerate}
+	\item Для любых $x_1,x_2,x_3 \in S, x_1 \otimes (x_2 \oplus x_3) = (x_1 \otimes x_2) \oplus (x_1 \otimes x_3)$ (дистрибутивность слева).
+	\item Для любых $x_1,x_2,x_3 \in S, (x_2 \oplus x_3) \otimes x_1 = (x_2 \otimes x_1) \oplus (x_3 \otimes x_1)$ (дистрибутивнойть справа).
+\end{enumerate}
+
+Если операция $\otimes$ является коммутативной, то дистрибутивность слева и справа равносильны. 
+
 \end{definition}
 
-\begin{definition}[идемпотентность]
-!!!
+\begin{example} Рассмотрим несколько примеров дистрибутивных операций.
+
+\begin{itemize}
+	\item Умножение целых чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания: классический \textit{распределительный закон}, знакомый всем со школы.
+	\item Операция деления (допустим, на действительных числах) не коммутативна. при этом, она дистрибутивна справа относительно сложения и вычитания, но не дистрибутивна слева.
+	$$(a + b) / c = (a / c) + (b / c) $$
+	но
+	$$c / (a + b) \neq (c / a) + (c / b)\footnote{Здесь может быть уместно вспомнить правила сложения дробей. Дроби с общим знаминателем складывать проще как раз из-за дистрибутивности справа.}.$$
+\end{itemize}
+
+\end{example}
+
+\begin{definition}[Идемпотентность]
+Бинарная операция $\circ : S \times S \to S$ называется идемпотентной, если для любого  $x \in S$ верно, что  $x \circ x = x$.
 \end{definition}
 
+
+
+\begin{example} Рассмотрим несколько примеров идемпотентных операций.
+
+\begin{itemize}
+	\item Операция объединения множеств $\cup$ является идемпотентной: для любого множества $S$ верно, что $S \cup S = S$.
+	\item Оперпция сложения на целых числах не является идемпотентной.
+	\item Операция ``логическое и'' $\wedge$ является идемпотентной.
+	\item Операция ``логическое или'' $\vee$ является идемпотентной.
+\end{itemize}
+
+\end{example}
+
 \begin{definition}[Нейтральный элемент]
 Пусть есть коммутативная бинарная операция $\circ$ на множестве $S$. Говорят, что $x\in S$ является нейтарльным элементом по операции $\circ$, если для любого $y\in S$ верно, что $x \circ y = y \circ x = y$. Если бинарная операция не является коммутативной, то можно пределить \textit{нейтральный слева} и \textit{нейтральный справа} элементы по аналогии.
 \end{definition}
@@ -187,8 +219,8 @@ \section{Матрицы и вектора}
 
 Про матричное произведение, тензорное произведение, ещё что-то.
 
-\section{Вопросы и задачи}
-\begin{enumerate}
-	\item Привидите примеры некоммутативных операций.
-	\item Привидите примеры ситуаций, когда наличие у бинарных операций каких-либо дополнитльных свойств (ассоциативности, коммутативности), позволяет строить более эффективные алгоритмы, чем в общем случае.
-\end{enumerate}
+%\section{Вопросы и задачи}
+%\begin{enumerate}
+%	\item Привидите примеры некоммутативных операций.
+%	\item Привидите примеры ситуаций, когда наличие у бинарных операций каких-либо дополнитльных свойств (ассоциативности, коммутативности), позволяет строить более эффективные алгоритмы, чем в общем случае.
+%\end{enumerate}