Small fixes.

Author: gsvgit

tex/LinearAlgebra.tex

@@ -199,8 +199,8 @@ \section{Группа}
 Рассмотрим несколько примеров групп.
 \begin{itemize}
 	\item Целые числа $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ являются группой. Получается дополнением моноида из предыдущего раздела обратными по сложению элементами. 
-	\item Целые числа $\mathbb{Z}$ без нуля\footnote{При наличии нуля возникают трудности с нейтральным элементом. Логично считать $1$ --- нейтральным по умножению, однако $0\cdot1 = 0$, а не 1, как того требует определение.} с операцией умножения $\cdot$ не являются группой, так как нет обратных по умножению. Действительно, возьмём $a = 3$, тогда должен существовать $a^{-1} \in \mathbb{Z}$, такой что $3 \cdot a^{-1} = 1$. Видим, что $a^{-1} = \frac{1}{3}$, но $\frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}$.
-	\item Множество обратимых\footnote{Квадратная матрица $M$ называется обратимой, если существует матрица $N$, называемая обратной, такая что $M \cdot N = N \cdot M I$, где $I$ --- единичная матрица. К сожалению, не все матрицы являются обратимыми, потому, чтобы сконструировать группу, нам приходится требовать обратимость явно.} матриц с операцией матричного умножения задают группу.
+	\item Целые числа $\mathbb{Z}$ без нуля\footnote{При наличии нуля возникают трудности с нейтральным элементом. Логично считать $1$ нейтральным по умножению, однако $0\cdot1 = 0$, а не 1, как того требует определение.} с операцией умножения $\cdot$ не являются группой, так как нет обратных по умножению. Действительно, возьмём $a = 3$, тогда должен существовать $a^{-1} \in \mathbb{Z}$, такой что $3 \cdot a^{-1} = 1$. Видим, что $a^{-1} = \frac{1}{3}$, но $\frac{1}{3} \notin \mathbb{Z}$.
+	\item Множество обратимых\footnote{Квадратная матрица $M$ называется обратимой, если существует матрица $N$, называемая обратной, такая что $M \cdot N = N \cdot M = I$, где $I$ --- единичная матрица. К сожалению, не все матрицы являются обратимыми, потому, чтобы сконструировать группу, нам приходится требовать обратимость явно.} матриц с операцией матричного умножения задают группу.
 \end{itemize}
 \end{example}
 

tex/RegularLanguages.tex

@@ -118,12 +118,12 @@ \section{Лемма о накачке}
 Идея доказательства леммы о накачке.
 
 \begin{enumerate}
-    \item Так как язык регулярный, то для него можно построить автомат. В том числе, минимальный по количеству состояний.
-    \item Возьмём в качестве $n$ количество состояний в автомате.
+    \item Так как язык регулярный, то для него можно построить конечный автомат $M = \langle Q, q_s,Q_f, \delta, \Sigma \rangle$. В том числе, минимальный по количеству состояний.
+    \item В качестве $n$ возьмём $|Q| + 1$.
     \item Легко заметить, что для любой цепочки $w \in L, |w| > n$ путь в автомате, соответствующий принятию данной цепочки, будет содержать хотя бы один цикл.
-          Действительно, в ориентированном графе с $n$ вершинами (а именно таким является автомат по построению) максимальная длина пути без повторных посещений вершин (соответственно, без циклов) не больше $n$.
+          Действительно, в ориентированном графе с $k$ вершинами (а именно таким является автомат по построению) максимальная длина пути без повторных посещений вершин (соответственно, без циклов) не больше $k - 1$.
     \item Выберем любой цикл. Он будет задавать искомые цепочки $x, y$ и $z$ так, как представлено на рисунке~\ref{fig:reg_lang_pumping_lemma}.
-    Заметим, что вход в цикл и выход из него могут не совпадать, что даёт несколько вариантов разбиения пути на части, и на рисунке представлен лишь один из возможных.
+    Заметим, что вход в цикл и выход из него в общем случае могут не совпадать, что даёт несколько вариантов разбиения пути на части, и на рисунке представлен лишь один из возможных.
 \end{enumerate}
 
 \begin{figure}