[WIP] Пример BFS в терминах линейной алгебры.

gsvgit · gsvgit · commit c89f954ee12d · 2024-06-08T09:48:20.000+03:00
diff --git a/tex/GraphTheoryIntro.tex b/tex/GraphTheoryIntro.tex
@@ -189,10 +189,10 @@ \section{Обход графа в ширину}
 Пример.
 
 Алгоритм обхода в ширину может быть переформулирован в терминах матрично-векторных операций следующим образом\footnote{
-Стоит отметить, что ситуация со не менее известным обходом в глубину (Depth-First Search, DFS) более сложная:
+Стоит отметить, что ситуация с не менее известным обходом в глубину (Depth-First Search, DFS) более сложная:
 на момент написания текста не известно естественного выражения данного обхода в терминах линейной алгебры.
 Доказательство невозможности такого построения также не предъявлены.
-При этом, решения для частных случаев (деревья, ориентированные графы без циклов) предложены, например, в работе~\cite{10.1145/3315454.3329962}}.
+При этом, решения для частных случаев (деревья, ориентированные графы без циклов) предложены, например, в работе~\cite{10.1145/3315454.3329962}.}.
 Пусть фронт --- вектор размера $n$, а сам граф представлен матрицей смежности. 
 Тогда один шаг --- получение нового фронта --- это умножение текущего фронта на матрицу смежности. 
 Для того, чтобы отслеживать посещённые вершины нужна маска. 
@@ -201,68 +201,91 @@ \section{Обход графа в ширину}
 
 \begin{example}
 
-  В качестве примера рассмотрим обход в ширину графа из примера~\ref{example:diGraph} начиная с вершины 2.
-  Для обозначения текущего фронта будем использовать зелёный цвет, а для достижимых из него за один шаг --- жёлтый.
+  Рассмотрим обход в ширину графа из примера~\ref{example:diGraph} начиная с вершины 2.
+  Для обозначения текущего фронта будем использовать зелёный цвет, а для достижимых из него за один шаг --- жёлтый, обведём вершину красным, если она посешается повторно.
 
-\begin{tabular}[t]{c | c }
-  \input{figures/graph/graph_BFS_1.tex}
+\begin{tabular}[t]{c | c}
+  \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+    \input{figures/graph/graph_BFS_1.tex}
+  \end{minipage}
   &
   \begin{minipage}{0.7\textwidth}
-  $
-  \text{visited} = 
-  \begin{pmatrix}
-    0 & 0 & 0 & 0
-  \end{pmatrix}
-  $
+    $\begin{aligned}
+      \textit{current\_front} & = 
+      \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 1 & 0
+      \end{pmatrix}  
   \\
-  $
-  \begin{pmatrix}
-    0 & 0 & 1 & 0
-  \end{pmatrix}
-  \begin{pmatrix}
-    0 & 1 & 0 & 0 \\
-    0 & 0 & 1 & 0 \\
-    1 & 0 & 0 & 1 \\
-    0 & 0 & 1 & 0
-  \end{pmatrix} =
-  \begin{pmatrix}
-    1 & 0 & 0 & 1
-  \end{pmatrix}
-  $
-  \\
-  $
-  \text{new\_front} =
-  \begin{pmatrix}
-    1 & 0 & 0 & 1
-  \end{pmatrix}
-  \begin{pmatrix}
-    0 & 0 & 0 & 0
-  \end{pmatrix}
-  =
-  \begin{pmatrix}
-    1 & 0 & 0 & 1
-  \end{pmatrix}
-  $
-\end{minipage}
+    \textit{visited} & = 
+      \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 0 & 0
+      \end{pmatrix}  
+  \\  
+    \textit{new\_front} & =
+    \textit{current\_front} \cdot M
+    \\
+    & = 
+      \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 1 & 0
+      \end{pmatrix}
+      \begin{pmatrix}
+        0 & 1 & 0 & 0 \\
+        0 & 0 & 1 & 0 \\
+        1 & 0 & 0 & 1 \\
+        0 & 0 & 1 & 0
+      \end{pmatrix} \\
+      & =
+      \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0 & 1
+      \end{pmatrix}
+   \\
+   \textit{visited} & = \textit{visited} \textit{new\_front} \\
+   &=
+   \begin{pmatrix}
+     0 & 0 & 0 & 0
+   \end{pmatrix}  
+   \begin{pmatrix}
+     0 & 0 & 1 & 0
+   \end{pmatrix}  
+   \\
+      \textit{current\_front} & = \textit{visited} \textit{new\_front}
+      \\
+      & =
+      \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0 & 1
+      \end{pmatrix}
+      \begin{pmatrix}
+        0 & 0 & 1 & 0
+      \end{pmatrix} \\
+      & =
+      \begin{pmatrix}
+        1 & 0 & 0 & 1
+      \end{pmatrix} \\
+    \end{aligned}$
+  \end{minipage}
   \\ \hline
-  \input{figures/graph/graph_BFS_2.tex}
+  \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+    \input{figures/graph/graph_BFS_2.tex}
+  \end{minipage}
   &
-  $ 
-  \begin{pmatrix}
+  $\begin{aligned} 
+  & \begin{pmatrix}
     1 & 0 & 0 & 1
   \end{pmatrix}
   \begin{pmatrix}
     0 & 1 & 0 & 0 \\
     0 & 0 & 1 & 0 \\
     1 & 0 & 0 & 1 \\
     0 & 0 & 1 & 0
-  \end{pmatrix} =
+  \end{pmatrix} \\ &=
   \begin{pmatrix}
     0 & 1 & 1 & 0
   \end{pmatrix}
-  $
+\end{aligned}$
   \\ \hline
-  \input{figures/graph/graph_BFS_3.tex}
+  \begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+    \input{figures/graph/graph_BFS_3.tex}
+  \end{minipage}
   &
   $ 
   \begin{pmatrix}
@@ -289,6 +312,19 @@ \section{Обход графа в ширину}
 
 Пример.
 
+\begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+  \input{figures/graph/graph_MS-BFS_1.tex}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.7\textwidth}
+\end{minipage}
+
+
+\begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
+  \input{figures/graph/graph_MS-BFS_2.tex}
+\end{minipage}
+\begin{minipage}{0.7\textwidth}
+\end{minipage}
+
 
 \section{Задачи поиска путей}
 
@@ -351,7 +387,7 @@ \section{Алгоритм Флойда-Уоршелла}
   \item $\mathbb{0} \otimes \mathbb{0} = \mathbb{0}$ : если не существует пути $i \pi j$ и не существует пути $j \pi k$, то не существует и пути $i \pi k$.
 \end{itemize}
 
-Новую операцию добавим к моноиду и получим новую алгебраическую структуру $\mathbb{G}' = (S, \oplus,\otimes)$. Данная структура является коммутативным моноидом по сложению (по построению) с нейтральным элементом $\mathbb{0}$. Из построения $\otimes$ видно, что $\mathbb{0}$ является аннигилятором. Ничего более про операцию $\otimes$, а значит и про $\mathbb{G}'$ мы сказать, исходя из построения, не можем. Классический фреймворк для решения algebraic path problem подразумевает, что $\mathbb{G}'$ является полукольцом, однако далее мы увидим, что существуют задачи, в которых $\otimes$, например, не является ассоциативной\footnote{Такой будет рассматриваемая в данной работе задача достижимости с ограничениями в терминах формальных языков. Другие примеры можно найти в уже упоминавшейся работе~\cite{Baras2010PathPI}}. А значит, согласно нашему определению, $\mathbb{G}'$ полукольцом не является.
+Новую операцию добавим к моноиду и получим новую алгебраическую структуру $\mathbb{G}' = (S, \oplus,\otimes)$. Данная структура является коммутативным моноидом по сложению (по построению) с нейтральным элементом $\mathbb{0}$. Из построения $\otimes$ видно, что $\mathbb{0}$ является аннигилятором. Ничего более про операцию $\otimes$, а значит и про $\mathbb{G}'$ мы сказать, исходя из построения, не можем. Классический фреймворк для решения algebraic path problem подразумевает, что $\mathbb{G}'$ является полукольцом, однако далее мы увидим, что существуют задачи, в которых $\otimes$, например, не является ассоциативной\footnote{Такой будет рассматриваемая в данной работе задача достижимости с ограничениями в терминах формальных языков. Другие примеры можно найти в уже упоминавшейся работе~\cite{Baras2010PathPI}.}. А значит, согласно нашему определению, $\mathbb{G}'$ полукольцом не является.
 
 Теперь, когда построена алгебраическая структура, обеспечивающая вычисление формулы~
 \ref{eq:algPathProblem}, мы можем предложить алгоритм вычисления этой формулы и данным алгоритмом в интересующих нас частных случаях будет являться алгоритм Флойда-Уоршелла~\cite{Floyd1962, Bernard1959, Warshall1962}. Псевдокод алгоритма представлен на листинге~\ref{lst:algoFloydWarxhall}, а его сложность $O(n^3)$. Он практически дословно основан на описанной выше идее сборки путей из двух подпутей: тройной вложенный цикл перебирает все возможные разбиения пути на две части, а в строке 7 как раз и происходит вычисление формулы~
diff --git a/tex/figures/graph/graph_BFS_2.tex b/tex/figures/graph/graph_BFS_2.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 
   \node[state,fill=green] (q_0) at (T60.right corner) {$0$};
   \node[state,fill=yellow] (q_1) at (T60.left corner)  {$1$};
-  \node[state,fill=yellow, draw=red] (q_2) at (T60.apex)         {$2$};
+  \node[state,fill=yellow, draw=red, line width=0.45mm] (q_2) at (T60.apex)         {$2$};
   \node[state,fill=green] (q_3) [right=1.5cm of q_2]  {$3$};
   \path[->]
     (q_0) edge (q_1)
diff --git a/tex/figures/graph/graph_BFS_3.tex b/tex/figures/graph/graph_BFS_3.tex
@@ -8,7 +8,7 @@
 
   \node[state] (q_0) at (T60.right corner) {$0$};
   \node[state,fill=green] (q_1) at (T60.left corner)  {$1$};
-  \node[state,fill=yellow, draw=red] (q_2) at (T60.apex)         {$2$};
+  \node[state,fill=yellow, draw=red, line width=0.45mm] (q_2) at (T60.apex)         {$2$};
   \node[state] (q_3) [right=1.5cm of q_2]  {$3$};
   \path[->]
     (q_0) edge (q_1)
diff --git a/tex/figures/graph/graph_MS-BFS_1.tex b/tex/figures/graph/graph_MS-BFS_1.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+\begin{tikzpicture}[]
+  % Apex angle 60 degrees
+  \node[isosceles triangle,
+      isosceles triangle apex angle=60,
+      draw=none,fill=none,
+      minimum size=2cm] (T60) at (3,0){};
+
+
+  \node[state] (q_0) at (T60.right corner) {$0$};
+  \node[state,fill=green] (q_1) at (T60.left corner)  {$1$};
+  \node[state,fill=yellow] (q_2) at (T60.apex)         {$2$};
+  \node[state,fill=green] (q_3) [right=1.5cm of q_2]  {$3$};
+  \path[->]
+    (q_0) edge (q_1)
+    (q_1) edge (q_2)
+    (q_2) edge (q_0)
+    (q_2) edge [bend left] (q_3)
+    (q_3) edge [bend left] (q_2);
+\end{tikzpicture}
diff --git a/tex/figures/graph/graph_MS-BFS_2.tex b/tex/figures/graph/graph_MS-BFS_2.tex
@@ -0,0 +1,19 @@
+\begin{tikzpicture}[]
+  % Apex angle 60 degrees
+  \node[isosceles triangle,
+      isosceles triangle apex angle=60,
+      draw=none,fill=none,
+      minimum size=2cm] (T60) at (3,0){};
+
+
+  \node[state,fill=yellow] (q_0) at (T60.right corner) {$0$};
+  \node[state] (q_1) at (T60.left corner)  {$1$};
+  \node[state,fill=green] (q_2) at (T60.apex)         {$2$};
+  \node[state,fill=yellow, draw=red, line width=0.45mm] (q_3) [right=1.5cm of q_2]  {$3$};
+  \path[->]
+    (q_0) edge (q_1)
+    (q_1) edge (q_2)
+    (q_2) edge (q_0)
+    (q_2) edge [bend left] (q_3)
+    (q_3) edge [bend left] (q_2);
+\end{tikzpicture}
