Merge branch 'LinAl' into dev

Author: gsvgit

README.md

@@ -4,10 +4,10 @@
 [![Ubuntu](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/actions/workflows/main.yml/badge.svg?branch=main)](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/actions/workflows/main.yml)
 [![License](https://img.shields.io/badge/license-CC--BY--SA--4.0-orange)](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/blob/master/LICENSE.txt)
 
-Данный текст есть попытка изложить основные идеи и результаты в такой области, как поиск путей (или достижимость) с ограничениями в терминах формальных языков. Наиболее чато встречающиеся частные случаи данной задачи, с которыми достаточно легко встретиться в литературе:
-- Поиск путей с регулярными ограничениями, Regular Path Querying, RPQ
-- Поиск путей с контекстно-свободными ограничениями, Context-Free Path Querying, CFPQ
-- Достижимость с контекстно-свободными ограничениями, Context-Free Language Reachability, CFL-r
+Данный текст есть попытка изложить основные идеи и результаты в такой области, как поиск путей (или достижимость) с ограничениями в терминах формальных языков. Наиболее часто встречающиеся частные случаи данной задачи, с которыми достаточно легко встретиться в литературе, следующие.
+- Поиск путей с регулярными ограничениями, Regular Path Querying, RPQ.
+- Поиск путей с контекстно-свободными ограничениями, Context-Free Path Querying, CFPQ.
+- Достижимость с контекстно-свободными ограничениями, Context-Free Language Reachability, CFL-r.
 
 Указанные выше англоязычные термины полезны для того, чтобы найти больше информации по теме.
 
@@ -20,15 +20,15 @@
 
 ## Скачать pdf
 
-* Текущую версию можно найти в [артифактах сборки](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/actions/runs/1004758399).
+* Текущую версию можно найти в [артефактах сборки](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/actions/runs/1004758399).
 * Официальные "издания" можно найти в [релизах](https://github.com/JetBrains-Research/FormalLanguageConstrainedReachability-LectureNotes/releases).
 
 ## Собрать из исходников
 
 Если вы решили что-то изменить в тексте или просто собрать pdf из исходников, то необходимо проделать следующие шаги.
 - Устанвить [TeX Live](https://tug.org/texlive/) или аналогичный дистрибутив.
 - Сделать клон репозитория.
-- Зайти в папку ```tex```
+- Зайти в папку ```tex```.
 - Выполнить команду
 ```
 make

tex/CYK_for_CFPQ.tex

@@ -187,35 +187,7 @@ \section{Дерево вывода}\label{sect:DerivTree}
   \[ G = \langle \{a,b\}, \{S\}, S, \{S \to a \ S \ b \ S, S \to \varepsilon\} \rangle \]
 
 \begin{center}
-
-    \begin{tikzpicture}[sibling distance=4em,
-    every node/.style = {shape=rectangle, rounded corners,
-      draw, align=center,
-      top color=white, bottom color=blue!20}]]
-    \node {S}
-      child { node {a} }
-      child { node {S}
-        child { node {$\varepsilon$}}
-      }
-      child { node {b} }
-      child { node {S}
-        child {node {a}}
-        child { node {S}
-          child { node {$\varepsilon$}}
-        }
-        child { node {b} }
-        child { node {S}
-          child {node {a}}
-          child {node {S}
-            child {node {$\varepsilon$}}
-          }
-          child {node {b}}
-          child {node {S}
-            child {node {$\varepsilon$}}
-          }
-        }
-      };
-  \end{tikzpicture}
+  \input{figures/cfl/tree0.tex}
 \end{center}
 
 \end{example}
@@ -338,7 +310,7 @@ \section{Нормальная форма Хомского}
 \begin{proof}
   \textit{Цепное правило} --- правило вида $A \to B\text{, где } A, B \in N\\$.
   \textit{Цепная пара} --- упорядоченная пара $(A,B)$, в которой $A\derives B$, используя только цепные правила.
-  
+
   Алгоритм:
   \begin{enumerate}
   \item Найти все цепные пары в грамматике $G$.
@@ -361,7 +333,7 @@ \section{Нормальная форма Хомского}
 
 \begin{proof}
   После удаления из грамматики правил, содержащих непорождающие нетерминалы, язык не изменится, так как непорождающие нетерминалы по определению не могли участвовать в выводе какого-либо слова.
-  
+
   Алгоритм нахождения порождающих нетерминалов:
   \begin{enumerate}
   \item Множество порождающих нетерминалов пустое.
@@ -375,52 +347,52 @@ \section{Нормальная форма Хомского}
 \begin{example}
   Приведем в Нормальную Форму Хомского однозначную грамматику правильных скобочных последовательностей: $S \to a S b S \mid \varepsilon$
 
-  Первым шагом добавим новый нетерминал и сделаем его стартовым: 
+  Первым шагом добавим новый нетерминал и сделаем его стартовым:
 
   \begin{align*}
-    S_0 &\to S  \\ 
+    S_0 &\to S  \\
     S   &\to a S b S \mid \varepsilon
   \end{align*}
 
-  Заменим все терминалы на новые нетерминалы: 
+  Заменим все терминалы на новые нетерминалы:
 
   \begin{align*}
-    S_0 &\to S \\ 
-    S   &\to L S R S \mid \varepsilon \\ 
-    L   &\to a \\ 
+    S_0 &\to S \\
+    S   &\to L S R S \mid \varepsilon \\
+    L   &\to a \\
     R   &\to b
   \end{align*}
 
-  Избавимся от длинных правил: 
+  Избавимся от длинных правил:
 
   \begin{align*}
-    S_0 &\to S \\ 
-    S   &\to L S' \mid \varepsilon \\ 
-    S'  &\to S S'' \\ 
+    S_0 &\to S \\
+    S   &\to L S' \mid \varepsilon \\
+    S'  &\to S S'' \\
     S'' &\to R S \\
-    L   &\to a \\ 
+    L   &\to a \\
     R   &\to b
   \end{align*}
 
-  Избавимся от $\varepsilon$-продукций: 
+  Избавимся от $\varepsilon$-продукций:
 
   \begin{align*}
-    S_0 &\to S \mid \varepsilon \\ 
-    S   &\to L S' \\ 
-    S'  &\to S'' \mid S S'' \\ 
+    S_0 &\to S \mid \varepsilon \\
+    S   &\to L S' \\
+    S'  &\to S'' \mid S S'' \\
     S'' &\to R   \mid R S \\
-    L   &\to a \\ 
+    L   &\to a \\
     R   &\to b
   \end{align*}
 
-  Избавимся от цепных правил: 
+  Избавимся от цепных правил:
 
   \begin{align*}
-    S_0 &\to L S' \mid \varepsilon \\ 
-    S   &\to L S' \\ 
-    S'  &\to b \mid R S \mid S S'' \\ 
+    S_0 &\to L S' \mid \varepsilon \\
+    S   &\to L S' \\
+    S'  &\to b \mid R S \mid S S'' \\
     S'' &\to b \mid R S \\
-    L   &\to a \\ 
+    L   &\to a \\
     R   &\to b
   \end{align*}
 \end{example}
@@ -463,14 +435,26 @@ \section{Лемма о накачке}
 
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pics/pumping_tree_1.pdf}
+\input{figures/cfl/pumping1.tex}
 \caption{Разбиение цепочки для леммы о накачке}
 \label{fig:pumping1}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}
 \centering
-\includegraphics[width=0.5\textwidth]{pics/pumping_tree_2.pdf}
+  \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+    \centering
+    \input{figures/cfl/pumping0.tex}
+    \caption{$k = 0$.}
+    % \label{fig:f1}
+  \end{subfigure}
+\hfill
+  \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
+    \centering
+    \input{figures/cfl/pumping2.tex}
+    \caption{$k = 2$.}
+    % \label{fig:f2}
+  \end{subfigure}
 \caption{Пример накачки цепочки с рисунка~\ref{fig:pumping1}}
 \label{fig:pumping2}
 \end{figure}
@@ -493,24 +477,24 @@ \section{Замкнутость КС языков относительно оп
   \item Разность с регулярными языками: если $L_1$ --- контекстно-свободный, а $L_2$ --- регулярный, то  $L_3 = L_1 \setminus L_2$ --- контекстно-свободный.
 \end{enumerate}
 \end{theorem}
-Для доказательства пунктов 1--4 можно построить КС граммтику нового языка имея грамматики для исходных. 
+Для доказательства пунктов 1--4 можно построить КС граммтику нового языка имея грамматики для исходных.
 Будем предполагать, что множества нетерминальных символов различных граммтик для исходных языков не пересекаются.
 \begin{enumerate}
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 \mid S_2\} ,S_3\rangle$ --- граммтика для $L_3$. 
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 \mid S_2\} ,S_3\rangle$ --- граммтика для $L_3$.
 
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 S_2\} ,S_3\rangle$ --- граммтика для $L_3$. 
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, $G_1=\langle\Sigma_2,N_2,P_2,S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$, тогда $G_3=\langle\Sigma_1 \cup \Sigma_2, N_1 \cup N_2 \cup \{S_3\}, P_1 \cup P_2 \cup \{S_3 \to S_1 S_2\} ,S_3\rangle$ --- граммтика для $L_3$.
 
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1 \cup \{S_2\}, P_1 \cup \{S_2 \to S_1 S_2\ \mid \varepsilon\}, S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$. 
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1 \cup \{S_2\}, P_1 \cup \{S_2 \to S_1 S_2\ \mid \varepsilon\}, S_2\rangle$ --- граммтика для $L_2$.
 
-\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1, \{N^i \to \omega^R \mid N^i \to \omega \in P_1 \}, S_1\rangle$ --- граммтика для $L_2$. 
+\item $G_1=\langle\Sigma_1,N_1,P_1,S_1\rangle$ --- граммтика для $L_1$, тогда $G_2=\langle\Sigma_1, N_1, \{N^i \to \omega^R \mid N^i \to \omega \in P_1 \}, S_1\rangle$ --- граммтика для $L_2$.
 \end{enumerate}
 
 Чтобы доказать замкнутость относительно пересечения с регулярными языками, построим по КС грамматике рекурсивный автомат $R_1$, по регулярному выражению --- детерминированный конечный автомат $R_2$, и построим их прямое произведение $R_3$.
-Переходы по терминальным символам в новом автомате возможны тогда и только тогда, когда они возможны одновременно и в исходном рекурсивном автомате и в исходном конечном. 
-За рекурсивные вызовы отвечает исходныа рекурсивный автомат. 
+Переходы по терминальным символам в новом автомате возможны тогда и только тогда, когда они возможны одновременно и в исходном рекурсивном автомате и в исходном конечном.
+За рекурсивные вызовы отвечает исходныа рекурсивный автомат.
 Значит цепочка принимается $R_3$ тогда и только тогда, когда она принимается одновременно $R_1$ и $R_2$: так как состояния $R_3$ --- это пары из состояния $R_1$ и $R_2$, то по трассе вычислений $R_3$ мы всегда можем построить трассу для $R_1$ и $R_2$ и наоборот.
 
-Чтобы доказать замкнутость относительно разности с регулятным языком, достаточно вспомнить, что регулярные языки замкнуты относительно дополнения, и выразить разность через пересечение с дополнением: 
+Чтобы доказать замкнутость относительно разности с регулятным языком, достаточно вспомнить, что регулярные языки замкнуты относительно дополнения, и выразить разность через пересечение с дополнением:
 $$
 L_1 \setminus L_2 = L_1 \cap \overline{L_2}
 $$
@@ -527,25 +511,25 @@ \section{Замкнутость КС языков относительно оп
 
 Чтобы доказать незамкнутость относительно пресечения, рассмотрим языки $L_1 = \{a^n b^n c^k \mid n \geq 0, k \geq 0\}$ и $L_2 = \{a^k b^n c^n \mid n \geq 0, k \geq 0\}$.
 Очевидно, что $L_1$ и $L_2$ --- контекстно-свободные языки.
-Рассмотрим $L_3 = L_1 \cap L_2 = \{a^n b^n c^n \mid n \geq 0\}$. 
+Рассмотрим $L_3 = L_1 \cap L_2 = \{a^n b^n c^n \mid n \geq 0\}$.
 $L_3$ не является контекстно-свободным по лемме о накачке для контекстно-свободных языков.
 
 Чтобы доказать незамкнутость относительно разности проделаем следующее.
 \begin{enumerate}
-\item Рассмотрим языки $L_4 = \{a^m b^n c^k \mid m \neq n, k \geq 0\}$ и $L_5 = \{a^m b^n c^k \mid n \neq k, m \geq 0\}$. 
+\item Рассмотрим языки $L_4 = \{a^m b^n c^k \mid m \neq n, k \geq 0\}$ и $L_5 = \{a^m b^n c^k \mid n \neq k, m \geq 0\}$.
 Эти языки являются контекстно-свободными.
 Это легко заметить, если знать, что язык $L'_4 = \{a^m b^n c^k \mid 0 \leq m < n, k \geq 0\}$ задаётся следующей граммтикой:
 \begin{align*}
 S \to & S c & T \to & a T b \\
 S \to & T &   T \to & T b \\
-      &   &   T \to & b. 
-\end{align*} 
+      &   &   T \to & b.
+\end{align*}
 
 \item Рассмотрим язык $L_6 = \overline{L'_6} = \overline{\{a^n b^m c^k \mid n \geq 0, m \geq 0, k \geq 0\}}$. Данный язык является регулярным.
 
 \item Рассмотрим язык $L_7 = L_4 \cup L_5 \cup L_6$ --- контектсно свободный, так как является объединением контекстно-свободных.
 
-\item Рассмотрим $\overline{L_7} = \{a^n b^n c^n \mid n \geq 0\} = L_3$: $L_4$ и $L_5$ задают языки с правильным порядком символов, но неравным их количеством, $L_6$ задаёт язык с неправильным порядком символов. 
+\item Рассмотрим $\overline{L_7} = \{a^n b^n c^n \mid n \geq 0\} = L_3$: $L_4$ и $L_5$ задают языки с правильным порядком символов, но неравным их количеством, $L_6$ задаёт язык с неправильным порядком символов.
 Из пердыдущего пункта мы знаем, что $L_3$  не является контекстно-свободным.
 
 \end{enumerate}