Базовая версия производных для регулярных выражений.

Author: gsvgit

tex/RegularLanguages.tex

@@ -376,8 +376,36 @@ \section{Производные для регулярных языков}
     \end{align*}
 \end{example}
 
-Принадлежность строки языку через производные.
+Одной из прикладных задач, которую можно решить с помощью производных, является принадлежность строки языку, задаваемому регулярным выражением\sidenote{Что важно, без преобразований регулярного выражения в конечный автомат, как было показано выше.}.
+Пусть дано регулярное выражение $R$ и нужно проверить, принадлежит ли строка $w=t_0 \ldots \ t_{n_1}$ языку, задаваемому этим выражением.
+Для этого необходимо вычислить следующее выражение:
+\[
+\emph{IsNull}(\partial_{t_{n-1}}(\ldots(\partial_{t_0}(R))\ldots)).
+\]
+Если его значение \emph{true}, то строка принадлежит языку.
+Иначе не принадлежит.
 
+\begin{example}
+    Пусть дано регулярное выражение $a(a \mid (b \ b))^*$ и строка \texttt{abb}.
+    Принадлежит ли она языку, задаваемому данным выражением?
+    Для ответа на этот вопрос вычислим следующее выражение:
+    \[
+        \emph{IsNull}(\partial_b(\partial_b(\partial_a(a^*(a \mid (b \ b))^*)))).
+    \]
+    Для начала вычислим производные.
+    \begin{align*}
+        \partial_a(a^*(a \mid (b \ b))^*) &= \partial_a(a) (a \mid (b \ b))^* \mid \mathcal{V}(a)(\partial_a(a \mid (b \ b))^*) \\
+                                          &= \varepsilon (a \mid (b \ b))^* \mid \varnothing (\partial_a(a \mid (b \ b))^*) \\
+                                          &= (a \mid (b \ b))^* \mid \varnothing \\
+                                          &= (a \mid (b \ b))^*\\
+        \partial_b((a \mid (b \ b))^*)    &= \partial_b((a \mid (b \ b))) (a \mid (b \ b))^* \\
+                                          &= (\varnothing \mid b) (a \mid (b \ b))^* \\
+                                          &= b (a \mid (b \ b))^* \\
+        \partial_b(b (a \mid (b \ b))^*)  &= (a \mid (b \ b))^*
+    \end{align*}
+    $\emph{IsNull}((a \mid (b \ b))^*) = \emph{true}$ по определению.
+    Таким образом, цепочка \texttt{abb} принадлежит языку, задаваемому регулярным выражением $a(a \mid (b \ b))^*$.
+\end{example}
 
 \section{Построение конечного автомата по регулярному выражению}