Графы и линейная алгебра. В процессе.

Author: gsvgit

tex/FormalLanguageConstrainedReachabilityLectureNotes.bib

@@ -1427,3 +1427,14 @@ @article{ArlDinKro70
 url = {http://mi.mathnet.ru/dan35675}
 }
 
+@book{doi:10.1137/1.9780898719918,
+author = {Kepner, Jeremy and Gilbert, John},editor = {Jeremy Kepner and John Gilbert},
+title = {Graph Algorithms in the Language of Linear Algebra},
+publisher = {Society for Industrial and Applied Mathematics},
+year = {2011},
+doi = {10.1137/1.9780898719918},
+address = {},
+edition   = {},
+URL = {https://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9780898719918},
+eprint = {https://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/1.9780898719918}
+}

tex/GraphTheoryIntro.tex

@@ -141,6 +141,19 @@ \section{Основные определения}
 Мы ввели лишь общие понятия.
 Специальные понятия, необходимые для изложения конкретного материала, будут даны в соответствующих главах.
 
+\section{Графы и линейная алгебра}
+
+В данной главе мы рассмотрим некоторые связи\footnote{Связь между графами и линейной алгеброй --- обширная область, в которой можно даже выделить отдельные направления, такие как спектральная теория графов. С точки зрения практики данная связь также подмечена давно и более полно с ней сожно ознакомиться, например, в работах~\cite{doi:10.1137/1.9780898719918, Davis2018Algorithm9S}. Кроме этого, много полезной информации можно найти на сайте \url{https://graphblas.github.io/GraphBLAS-Pointers/}.} между графами и операциями над ними и матрицами и операциями над матрицами. 
+
+Матрицы --- рёбра. Операции над матрицами --- операции над рёбрами. 
+
+
+Носитель структуры для матриц сложно связан с тем, откуда веса на рёбрах графа.
+
+Про умножение. Конкатенация рёбер, выбор из нескольких возможных вариантов: как раз две операции в полукольце. Красивая картинка про то, как умножение матриц работает с рёбрами. 
+
+Про Кронекера и произведение графов.
+
 \section{Задачи поиска путей}
 
 Одна из классических задач анализа графов --- это задача поиска путей между вершинами с различными ограничениями.

tex/LinearAlgebra.tex

@@ -219,7 +219,7 @@ \section{Полукольцо}
 \end{definition}
 
 \begin{example}\label{exmpl:semiring}
-Рассмотрим пример полукольца, а заодно покажем, что левая и правая дистрибутивность могут существовать независимо для некоммутативного умножения\footnote{Хороший пример того, почему левую и правую дистрибутивнойть в случае некоммутативного умножения нужно проверять независимо (правда, для колец), приведён Николаем Александровичем Вавмловым в книге ``Конкретная теория колец'' на странице 6~\cite{VavilovRings}.}.
+Рассмотрим пример полукольца, а заодно покажем, что левая и правая дистрибутивность могут существовать независимо для некоммутативного умножения\footnote{Хороший пример того, почему левую и правую дистрибутивнойть в случае некоммутативного умножения нужно проверять независимо (правда, для колец), приведён Николаем Александровичем Вавиловым в книге ``Конкретная теория колец'' на странице 6~\cite{VavilovRings}.}.
 
 В качестве $R$ возьмём множество множеств строк конечной длины над некоторым алфавитом $\Sigma$. В качестве сложения возьмём теоретико-множественное объединение: $\oplus  \equiv \cup$. Нейтральный элемент по сложению --- это пустое множество ($\varnothing$).
 В качесве умножения возьмём конкатенацию множеств ($\otimes  \equiv \odot$) и оперделим её следующим образом:
@@ -558,6 +558,12 @@ \section{Матрицы и вектора}
 
 \end{definition}
 
+\begin{note}\label{note:KronIsNotCommutative}
+Отметим, что произведение Кронекера не является коммутативным.
+При этом всегда существуют две матрицы перестоновок $P$ и $Q$ такие, что $A \otimes B = P(B \otimes A)Q$.
+Это свойство потребуется нам в дальнейшем.
+\end{note}
+
 \newcommand{\examplemtrx}
 {
 \begin{pmatrix}

tex/TensorProduct.tex

@@ -60,61 +60,6 @@ \section{Рекурсивные автоматы и сети}
 \section{Тензорное произведение}
 \label{section2}
 
-Тензорное произведение матриц или произведение Кронекера --- это бинарная операция, обозначаемая $\otimes$ и определяемая следующим образом.
-
-\begin{definition}
-Пусть даны две матрицы: $A$ размера $m\times n$ и $B$ размера $p\times q$.
-Произведение Кронекера или тензорное произведение матриц $A$ и $B$ --- это блочная матрица $C$ размера $mp \times nq$, вычисляемая следующим образом:
-$$
-C = A \otimes B =
-\begin{pmatrix}
-A_{0,0}B   & \cdots & A_{0,n-1}B    \\
-\vdots     & \ddots & \vdots       \\
-A_{m-1,0}B & \cdots &  A_{m-1,n-1}B
-\end{pmatrix}
-$$
-\end{definition}
-
-%\newcommand{\examplemtrx}
-%{
-%\begin{pmatrix}
-%5 & 6 & 7 & 8 \\
-%9 & 10 & 11 & 12 \\
-%13 & 14 & 15 & 16 
-%\end{pmatrix}
-%}
-
-\begin{example}
-\begin{align}
-\begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
-3 & 4
-\end{pmatrix}
-\otimes
-\examplemtrx &=
-\begin{pmatrix}
-1\examplemtrx & 2\examplemtrx \\
-3\examplemtrx & 4\examplemtrx
-\end{pmatrix}
-=\notag \\
-&=
-\left(\begin{array}{c c c c | c c c c}
-5  & 6  & 7  & 8  & 10 & 12 & 14 & 16 \\
-9  & 10 & 11 & 12 & 18 & 20 & 22 & 24 \\
-13 & 14 & 15 & 16 & 26 & 28 & 30 & 32 \\
-\hline
-15 & 18 & 21 & 24 & 20 & 24 & 28 & 32 \\
-27 & 30 & 33 & 36 & 36 & 40 & 44 & 48 \\
-39 & 42 & 45 & 48 & 52 & 56 & 60 & 64
-\end{array}\right)
-\end{align}
-\end{example}
-
-Заметим, что для определения тензорного произведения матриц достаточно определить операцию умножения на элементах исходных матриц.
-Также отметим, что произведение Кронекера не является коммутативным.
-При этом всегда существуют две матрицы перестоновок $P$ и $Q$ такие, что $A \otimes B = P(B \otimes A)Q$.
-Это свойство потребуется нам в дальнейшем.
-
 Теперь перейдём к графам.
 Сперва дадим классическое определение тензорного произведения двух неориентированных графов.
 
@@ -221,7 +166,7 @@ \section{Алгоритм}
 Идея алгоритма основана на обобщении пересечения двух конечных автоматов до пересечения рекурсивного автомата, построенного по грамматике, со входным графом.
 
 Пересечение двух конечных автоматов --- тензорное произведение соответствующих графов.
-Пересечение языков коммутативно, тензорное произведение нет, но, как было сказано в разделе~\ref{section2}, существует решение этой проблемы.
+Пересечение языков коммутативно, тензорное произведение нет, но, как было сказано в замечании~\ref{note:KronIsNotCommutative}, существует решение этой проблемы.
 
 Будем рассматривать два конечных автомата: одни получан из входного графа, второй из грамматики.
 Можно найти их пересечение, вычислив тензорное произведение матриц смежности соответствующих графов.